求和中x:y=g(x)的含义

概念解释

p ( y ) = ∑ x : y = g ( x ) p ( x ) p(y)=sumlimits_{x:y=g(x)}p(x) p(y)=x:y=g(x)∑​p(x)

这个表达式表示随机变量 Y 的概率分布 p(y) 是通过对随机变量 X 进行函数映射 $y=g(x)$ 后得到的。让我更详细地解释：

• $Y$ 和 $X$ 是两个随机变量，其中 $X$ 具有概率分布 $p(x)$，而 $Y$ 具有概率分布 $p(y)$。
• $y=g(x)$ 是一个函数关系，它将随机变量 $X$ 的取值映射到随机变量 $Y$ 的取值。这表示 $Y$ 的值是由 $X$ 经过函数 $g$ 的变换而来。
• 表达式 ∑ x : y = g ( x ) p ( x ) sum_{x : y = g(x)} p(x) ∑x:y=g(x)​p(x) 表示对所有满足 $y=g(x)$ 的 $x$ 值进行求和，然后使用这些 $x$ 值对应的概率 $p(x)$ 来计算 $Y$ 的概率分布 $p(y)$。换句话说，它表示了将 $X$ 映射到 $Y$ 的过程中，每个可能的 $y$ 值的概率是如何形成的。

这种方式的概率分布计算通常出现在随机变量之间的函数关系或变换中。通过将 $X$ 映射到 $Y$，我们可以推导出 $Y$ 的概率分布。这在统计学、信息论和机器学习等领域中经常用于分析和建模。

举例说明

让我们通过一个简单的例子来说明这个概念。

假设我们有两个随机变量 $X$ 和 $Y$，其中 $X$ 表示一枚硬币的抛掷结果，可以取值 “正面”（H）或 “反面”（T），并且 $X$ 的概率分布如下：

P ( X = H ) = 0.6 P ( X = T ) = 0.4 begin{align*} P(X = text{H}) &= 0.6 \ P(X = text{T}) &= 0.4 end{align*} P(X=H)P(X=T)​=0.6=0.4​

现在，我们定义一个函数 $g(x)$，它将 $X$ 的取值映射到 $Y$ 的取值。我们规定：

$$\begin{gathered} g(\text{H})=1 \\ g(\text{T})=0 \end{gathered}$$

这表示如果硬币抛掷结果为 “正面”，则 $Y$ 的取值为 1，如果硬币抛掷结果为 “反面”，则 $Y$ 的取值为 0。

接下来，我们可以使用上面提到的表达式来计算 $Y$ 的概率分布 $p(y)$。根据我们的定义，$y=g(x)$，因此：

p ( 1 ) = ∑ x : g ( x ) = 1 p ( x ) = p ( H ) = 0.6 p(1) = sum_{x : g(x) = 1} p(x) = p(text{H}) = 0.6 p(1)=x:g(x)=1∑​p(x)=p(H)=0.6
p ( 0 ) = ∑ x : g ( x ) = 0 p ( x ) = p ( T ) = 0.4 p(0) = sum_{x : g(x) = 0} p(x) = p(text{T}) = 0.4 p(0)=x:g(x)=0∑​p(x)=p(T)=0.4

所以，通过将 $X$ 映射到 $Y$，我们得到了 $Y$ 的概率分布：

P ( Y = 1 ) = 0.6 P ( Y = 0 ) = 0.4 begin{align*} P(Y = 1) &= 0.6 \ P(Y = 0) &= 0.4 end{align*} P(Y=1)P(Y=0)​=0.6=0.4​

这个例子中，我们通过函数映射 $g(x)$ 将 $X$ 映射到 $Y$，并且通过对满足映射条件的 $x$ 值的概率进行求和，得到了 $Y$ 的概率分布。这就是表达式 p ( y ) = ∑ x : y = g ( x ) p ( x ) p(y) = sum_{x : y = g(x)} p(x) p(y)=∑x:y=g(x)​p(x) 的实际应用。

对x进行分解

H ( X ) = − ∑ x p ( x ) l o g p ( x ) = − ∑ y ∑ x : y = g ( x ) p ( x ) l o g p ( x ) H(X)=-sumlimits_xp(x)logp(x)=-sumlimits_y sumlimits_{x:y=g(x)}p(x)logp(x) H(X)=−x∑​p(x)logp(x)=−y∑​x:y=g(x)∑​p(x)logp(x)

让我来分析一下这个信息熵的表达式:
H ( X ) = − ∑ x p ( x ) log ⁡ p ( x ) H(X) = -sumlimits_x p(x)log p(x) H(X)=−x∑​p(x)logp(x) 这是信息熵的标准定义式。
然后你把求和符号拆成了两个求和:
∑ y ∑ x : y = g ( x ) p ( x ) log ⁡ p ( x ) sumlimits_y sumlimits_{x:y=g(x)} p(x)log p(x) y∑​x:y=g(x)∑​p(x)logp(x)
这里summation符号外面的是对y求和,内部的是对使得$y=g(x)$的x求和。
也就是说,对每一个y值,你都求它对应的x的概率p(x)的对数和的负值。
这实际上就是根据一个分类(根据y值将x分割到不同的类中)来计算信息熵。
所以这个表达式是正确的,它表达了根据变量Y将变量X分割成不同类后,X的条件信息熵。
总结一下:

• 这个表达式从信息熵的定义式出发
• 利用条件求和将其拆分为双重求和
• 表达了根据Y分类后X的条件信息熵