GM(1,1)应用案例1

北方某城市1986-1992年道路交通平均噪声级数数据如表(1)建立GM(1,1)模型。

表(1)城市交通平均噪声级数数据/db(A)

编号

1

2

3

4

5

6

7

年份

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

Leq

71.1

72.4

72.4

72.1

71.4

72.0

71.6

 【符号设置】

  • x(0)(k)  原始数据,k=1,2,…,7
  • x(1)(k)  累加生成数列(1-AGO)列,k=1,2,…,7
  • z(1)(k)  (1-AGO)序列的均值,k=2,3,…,7
  • λ(k)    级比数据,k=2,3,…,7
  • a,b      待拟合参数

【建立模型】

1、级比检验

原始数据为

 = [71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6],根据级比公式

计算级比为λ=[0.9820 1.0000 1.0042 1.0098 0.9917 1.0056],级比容差范围=[0.7788  1.2840]

λ每个分量都在容差范围,即原始数据可以作GM(1,1)建模。

λ和容差计算程序:

x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6];
n=length(x0);
lamuda=x0(1:n-1)./x0(2:n);
xita=exp([-2/(n+1),2/(n+1)]);
lamudamm=minmax(lamuda);
[lamudamm;xita]

2、GM(1,1)建模

(2.1) 对原始数据x(0)作一次(阶)累加.

公式为

计算得到x(1)=[71.1  143.5  215.9  288.0  359.4  431.4 503.],

(2.2)对x(1)取均值(作一次平滑)

公式为

计算得到z(1)=[107.3  179.7  251.95  323.7  395.4  467.2]

(2.3)构造数据矩阵B和数据向量Y

(2.4)计算最小二乘参数

经计算得

代码如下:

x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6];
n=length(x0);
x1=cumsum(x0);
z=(x1(1:n-1)+x1(2:n))/2;
B=[z',ones(n-1,1)];Y=(x0(2:n))';
u=inv(B'*B)*B'*Y;

(2.5)建立模型

白化方程求解,得【6】

(2.6)求生成序列预测值和原始数据还原值

累加数据的预测公式为

则原始数据的预测公式为【7】

 3、模型检验

【8】

【9】

根据公式[8]和[9],计算残差和级比偏差,相关计算结果填入表2

 GM(1,1)所有计算及检验计算程序

x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6];
n=length(x0);
lamuda=x0(1:n-1)./x0(2:n);
x1=cumsum(x0);
z=(x1(1:n-1)+x1(2:n))/2;
B=[-z',ones(n-1,1)];Y=(x0(2:n))';
u=inv(B'*B)*B'*Y;
x1(1)=x0(1);
x2(1)=x0(1);
xy(1)=x0(1);
for k=1:n-1
    x2(k+1)=(x0(1)-u(2)/u(1))*exp(-u(1)*k)+u(2)/u(1);
end
xy=[x0(1),diff(x2)];
err=x0-xy;
errb=err./x0;
a=u(1);
rho=(1-(1-0.5*a)/(1+0.5*a))*lamuda;
[x0',x1',[0,z]',xy',err',errb',[0,rho]']

表2 GM(1,1)模型残差与级比偏差

原始

数据

累加

数据

均值

数据

x0预测

残差

相对

误差

偏差

71.1

71.1

0

71.1

0

0

0

72.4

143.5

107.3

72.40574

-0.00574

-7.9E-05

0.002299

72.4

215.9

179.7

72.23624

0.163763

0.002262

0.002341

72.1

288

251.95

72.06713

0.032871

0.000456

0.002351

71.4

359.4

323.7

71.89842

-0.49842

-0.00698

0.002364

72

431.4

395.4

71.7301

0.269901

0.003749

0.002322

71.6

503

467.2

71.56218

0.037824

0.000528

0.002354

 由表2可以得到,残差百分比和级比偏差都小于0.1,预测达到较高要求