数学术语之源——纤维(fiber)

1. 数学术语“纤维”(英英“fibre”,美英“fiber”)在数学中的起源

fiber[ˈfaɪbə(r)]这个词始于14世纪晚期，词义为“肝叶的一瓣(a lobe of the liver)”,也指“内脏(entrails)”。来自中世纪拉丁语“fibre”,其又源自拉丁语“fibra”,词义为“纤维(a fiber)、细长的丝(filament)；内脏(entrails)”。

相关的术语有纤维(fiber)、纤维束(fiber bundle)和纤维空间(fiber space)。根据 J. Dieudonné <<代数和微分拓扑史：1900-1960>>(A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960)第387页，术语“纤维(fiber)”(德语“Faser” )和“纤维空间(fiber space)”(“gefaserter Raum”)可能首先出现在 Herbert Seifert的“三维纤维空间拓扑(Topologie dreiDimensioner gefaserter, Räume ),” Acta Mathematica, 60, (1932年), 第147页-238页。然而，Dieudonné 补充说，Seifert的定义“仅限于非常特殊的情况，他的观点与现代概念有很大不同。” 现代概念主要出现在 20 世纪 40 年代Hassler Whitney的著作中。 Whitney 在“论球束理论(On the Theory of Sphere-Bundles)”中定义了纤维束(<<美国国家科学院院刊>>(Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America)，26，第 2 期(1940 年 2 月 15 日)，第 14 页。 148. 几年之内，相关术语束、纤维和纤维空间出现：参见 N. Steenrod 的<<纤维束的拓扑>>(The Topology of Fiber Bundles (1951年))。近年来，拼写为“fiber”已变得常见，符合美国的常见用法。

2. 数学术语“纤维”的具体数学含义

在数学上，术语“纤维”(英英“fibre”,美英“fiber”)有2种含义，视具体的数学应用背景而定。或许，使用“纤维”这个概念，旨在表明这个数学元素的“微小性”。

(1) 在朴素集合论(naive set theory)中,集合Y中的元素y 在映射 f : X ⟶ Y 下的纤维是单元素集(singleton) { y }在映射 f 下的逆像(inverse image)。

令 f : X ⟶ Y 为集合之间的一个函数映射。一个元素 y∈Y 在映射f下的纤维(或者y上的纤维)是集合

$f^{-1}(y) = { x in X | f (x) = y }$ ，（注意： $f^{-1}$ 只是一种符号记法，若映射不是双射的话其不能成为映射，但是纤维的概念不必一定是双射。）

即，在函数映射下，被映射到 y 的 X 中的元素的集合。它是单元素集 { y } 的原像(preimage)。(人们通常在f 的像中使用 y ,从而避免 $f^{-1}(y)$ 成为空集。也就是说，可能Y中有部分元素在X中没有原像，逆像不存在。)

函数 f 的所有纤维的集合构成域 X 的一个划分。含有一个元素 x∈X 的纤维是集合 $f^{-1}(f(x))$ 。例如，将(x ,y)发送到x的投影映射 $mathbb{R}^{2} longrightarrow mathbb{R}$ 的纤维是垂直直线，它们构成了对平面的一个划分。

若 f 是多实数变量的实数函数，则函数的纤维是 f 的水平集(level set,或称“等高面”)。若 f 也是一个连续函数且 y∈ℝ 在f 的像中，则水平集 $f^{-1}(y)$ 将是一个典型的二维曲线，一个三维表面，以及更一般地，一个f 域中的超曲面(hypersurface)。

(2) 在代数几何(algebraic geometry)中，必须更仔细地定义方案态射纤维的概念，因为一般来说，并非每个点都是封闭的。

在代数几何中，若函数 f : X ⟶ Y 是一个概型态射(a morphism of schemes)，则Y 中一点 p 的纤维是概型的纤维积(the fiber product of schemes)

$X_{ times (Y)} mathsf{Spec} hspace{0.2cm} k(p)$ ，

其中，k(p)是p点的剩余域(residue field)。

(3) 在拓扑学中，一个局部同胚(a local homeomorphism)是其域的一个离散子空间。若函数映射 f : X ⟶ Y是一个连续函数，并且Y (或者，更一般地 f (X ))是一个 $T_{1}$ 空间,则每一个纤维都是 X 的一个闭合子集。

对于一个拓扑空间之间的函数，若每一个纤维是其域的一个相连的子空间，则称这个函数为单调的(monotone)。对于一个函数 f : ℝ ⟶ ℝ ，当且仅当它是非递增或非递降的时候，它在拓扑空间的意义上是单调的，这就是实分析中常规意义上的“单调函数(monotone function)”。

对于拓扑空间之间的函数，若每个纤维都是其域的压缩子空间，有时候也称其为一个真映射(a proper map)。然而，许多作者使用“真映射”的其他非等效竞争定义，因此建议始终检查特定作者如何定义该术语。纤维都是压缩的连续闭满射函数称为完满映射(perfect map)。