第三章,矩阵,07-用初等变换求逆矩阵、矩阵的LU分解


玩转线性代数(19)初等矩阵与初等变换的相关应用的笔记,例见原文

一个基本的方法

已知: A r ∼ F A^r sim F ArF,求可逆阵 P P P,使 P A = F PA = F PA=F ( F F F A A A的行最简形)
方法:利用初等行变换,将矩阵A左边所乘初等矩阵相乘,从而得到可逆矩阵P.
步骤:
(1)对矩阵A进行l次初等行变换至行最简形:
A r ∼ F A^r sim F ArF,即 P l . . . P 2 P 1 A r = F P_l...P_2P_1A^r = F Pl...P2P1Ar=F
(2)求 P = P l . . . P 2 P 1 P=P_l...P_2P_1 P=Pl...P2P1
( A , E ) (A, E) (A,E)看成分块矩阵,后面的E为记录器,对分块矩阵 ( A , E ) (A, E) (A,E)进行初等行变换:
( A , E ) → P l . . . P 2 P 1 ( A , E ) → ( P l . . . P 2 P 1 A , P l . . . P 2 P 1 ) → ( P A , P ) → ( F , P ) (A, E) rightarrow P_l...P_2P_1(A, E) rightarrow (P_l...P_2P_1A, P_l...P_2P_1) rightarrow (PA, P) rightarrow (F, P) (A,E)Pl...P2P1(A,E)(Pl...P2P1A,Pl...P2P1)(PA,P)(F,P)
即当A化为F后E化为P。
那么若A可逆, A − 1 A = E A^{-1}A = E A1A=E,即将A化为单位阵,右边的E就化为 A − 1 A^{-1} A1

A − 1 B A^{-1}B A1B

即将上面的“记录器”E换为B,将A化为E的一系列行变换操作(等效于左乘 A − 1 A^{-1} A1)全部作用到B上
A − 1 ( A , B ) = ( E , A − 1 B ) A^{-1}(A, B)=(E,A^{-1}B) A1(A,B)=(E,A1B)

LU分解

假设A是m*n矩阵并且可以化简为行阶梯形而不必经过行对换或数乘,则A可以分解成如下的形式:
A = ( 1 0 0 0 ∗ 1 0 0 ∗ ∗ 1 0 ∗ ∗ ∗ 1 ) ( ■ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ■ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ■ ∗ 0 0 0 0 0 ) = L U A= begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \* & 1 & 0 & 0 \* & * & 1 & 0\* & * & * & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} blacksquare & * & * & * & * \0 & blacksquare & * & * & * \0 & 0 & 0 & blacksquare & *\0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{pmatrix} =LU A= 1010010001 000000000 =LU
L是单位下三角矩阵,主对角线元素全是1,它其实是一系列 E ( i j ( k ) ) E(ij(k)) E(ij(k))类型初等矩阵的乘积,L可逆;U是A的一个等价的行阶梯形矩阵。

例1,求矩阵A的LU分解:


A = ( 2 4 2 1 5 2 4 − 1 9 ) A= begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \ 1 & 5 & 2 \ 4 & -1 & 9 end{pmatrix} A= 214451229

( A , E ) = ( 2 4 2 1 0 0 1 5 2 0 1 0 4 − 1 9 0 0 1 ) ∼ ( 2 4 2 1 0 0 0 3 1 − 1 2 1 0 0 − 9 5 − 2 0 1 ) ∼ ( 2 4 2 1 0 0 0 3 1 − 1 2 1 0 0 0 8 − 7 2 3 1 ) = ( U , p ) (A,E)=begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 5 & 2 & 0 & 1 & 0 \ 4 & -1 & 9 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix} sim begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 1 & -frac{1}{2} & 1 & 0 \ 0 & -9 & 5 & -2 & 0 & 1 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 1 & -frac{1}{2} & 1 & 0 \ 0 & 0 & 8 & -frac{7}{2} & 3 & 1 end{pmatrix} =(U, p) (A,E)= 214451229100010001 2004392151212010001 20043021812127013001 =(U,p)
U = P A ⇒ A = P − 1 U U=PA Rightarrow A=P^{-1}U U=PAA=P1U,有
A = ( 2 4 2 1 5 2 4 − 1 9 ) = ( 1 0 0 1 2 1 0 2 − 3 1 ) ( 2 4 2 0 3 1 0 0 8 ) = L U A= begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \ 1 & 5 & 2 \ 4 & -1 & 9 end{pmatrix}= begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ frac{1}{2} & 1 & 0\ 2 & -3 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 2 & 4 & 2\ 0 & 3 & 1\ 0 & 0 & 8 end{pmatrix}=LU A= 214451229 = 1212013001 200430218 =LU

例12,LU分解解线性方程组:

将系数矩阵进行LU分解,然后分两步解出方程
在这里插入图片描述
在具体求解时要使用数学软件来求,计算机解线性方程组时就采用LU分解.手动进行LU分解当然是比较麻烦的.