第三章，矩阵，07-用初等变换求逆矩阵、矩阵的LU分解
第三章，矩阵，07-用初等变换求逆矩阵、矩阵的LU分解
玩转线性代数(19)初等矩阵与初等变换的相关应用的笔记，例见原文
一个基本的方法
已知：
A
r
∼
F
A^r sim F
Ar∼F，求可逆阵
P
P
P，使
P
A
=
F
PA = F
PA=F (
F
F
F为
A
A
A的行最简形)
方法：利用初等行变换，将矩阵A左边所乘初等矩阵相乘，从而得到可逆矩阵P.
步骤：
（1）对矩阵A进行l次初等行变换至行最简形：
A
r
∼
F
A^r sim F
Ar∼F，即
P
l
.
.
.
P
2
P
1
A
r
=
F
P_l...P_2P_1A^r = F
Pl...P2P1Ar=F
（2）求
P
=
P
l
.
.
.
P
2
P
1
P=P_l...P_2P_1
P=Pl...P2P1
将
(
A
,
E
)
(A, E)
(A,E)看成分块矩阵，后面的E为记录器，对分块矩阵
(
A
,
E
)
(A, E)
(A,E)进行初等行变换：
(
A
,
E
)
→
P
l
.
.
.
P
2
P
1
(
A
,
E
)
→
(
P
l
.
.
.
P
2
P
1
A
,
P
l
.
.
.
P
2
P
1
)
→
(
P
A
,
P
)
→
(
F
,
P
)
(A, E) rightarrow P_l...P_2P_1(A, E) rightarrow (P_l...P_2P_1A, P_l...P_2P_1) rightarrow (PA, P) rightarrow (F, P)
(A,E)→Pl...P2P1(A,E)→(Pl...P2P1A,Pl...P2P1)→(PA,P)→(F,P)
即当A化为F后E化为P。
那么若A可逆，
A
−
1
A
=
E
A^{-1}A = E
A−1A=E，即将A化为单位阵，右边的E就化为
A
−
1
A^{-1}
A−1
求 A − 1 B A^{-1}B A−1B
即将上面的“记录器”E换为B，将A化为E的一系列行变换操作（等效于左乘
A
−
1
A^{-1}
A−1）全部作用到B上
A
−
1
(
A
,
B
)
=
(
E
,
A
−
1
B
)
A^{-1}(A, B)=(E,A^{-1}B)
A−1(A,B)=(E,A−1B)
LU分解
假设A是m*n矩阵并且可以化简为行阶梯形而不必经过行对换或数乘，则A可以分解成如下的形式：
A
=
(
1
0
0
0
∗
1
0
0
∗
∗
1
0
∗
∗
∗
1
)
(
■
∗
∗
∗
∗
0
■
∗
∗
∗
0
0
0
■
∗
0
0
0
0
0
)
=
L
U
A= begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \* & 1 & 0 & 0 \* & * & 1 & 0\* & * & * & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} blacksquare & * & * & * & * \0 & blacksquare & * & * & * \0 & 0 & 0 & blacksquare & *\0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{pmatrix} =LU
A=
1∗∗∗01∗∗001∗0001
■000∗■00∗∗00∗∗■0∗∗∗0
=LU
L是单位下三角矩阵，主对角线元素全是1，它其实是一系列
E
(
i
j
(
k
)
)
E(ij(k))
E(ij(k))类型初等矩阵的乘积，L可逆；U是A的一个等价的行阶梯形矩阵。
例1，求矩阵A的LU分解：
令
A
=
(
2
4
2
1
5
2
4
−
1
9
)
A= begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \ 1 & 5 & 2 \ 4 & -1 & 9 end{pmatrix}
A=
21445−1229
则
(
A
,
E
)
=
(
2
4
2
1
0
0
1
5
2
0
1
0
4
−
1
9
0
0
1
)
∼
(
2
4
2
1
0
0
0
3
1
−
1
2
1
0
0
−
9
5
−
2
0
1
)
∼
(
2
4
2
1
0
0
0
3
1
−
1
2
1
0
0
0
8
−
7
2
3
1
)
=
(
U
,
p
)
(A,E)=begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 5 & 2 & 0 & 1 & 0 \ 4 & -1 & 9 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix} sim begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 1 & -frac{1}{2} & 1 & 0 \ 0 & -9 & 5 & -2 & 0 & 1 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 1 & -frac{1}{2} & 1 & 0 \ 0 & 0 & 8 & -frac{7}{2} & 3 & 1 end{pmatrix} =(U, p)
(A,E)=
21445−1229100010001
∼
20043−92151−21−2010001
∼
2004302181−21−27013001
=(U,p)
故
U
=
P
A
⇒
A
=
P
−
1
U
U=PA Rightarrow A=P^{-1}U
U=PA⇒A=P−1U，有
A
=
(
2
4
2
1
5
2
4
−
1
9
)
=
(
1
0
0
1
2
1
0
2
−
3
1
)
(
2
4
2
0
3
1
0
0
8
)
=
L
U
A= begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \ 1 & 5 & 2 \ 4 & -1 & 9 end{pmatrix}= begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ frac{1}{2} & 1 & 0\ 2 & -3 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 2 & 4 & 2\ 0 & 3 & 1\ 0 & 0 & 8 end{pmatrix}=LU
A=
21445−1229
=
121201−3001
200430218
=LU
例12，LU分解解线性方程组：
将系数矩阵进行LU分解，然后分两步解出方程
在具体求解时要使用数学软件来求，计算机解线性方程组时就采用LU分解．手动进行LU分解当然是比较麻烦的.