AM@线性微分方程解的结构
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线性微分方程
-
y
(
n
)
+
a
1
(
x
)
y
(
n
−
1
)
+
⋯
+
a
n
−
1
(
x
)
y
′
+
a
n
(
x
)
y
y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+cdots+a_{n-1}(x)y^{'}+a_n(x)y
y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=
f
(
x
)
f(x)
f(x)
(1), - 方程(1)对应的齐次方程为
y
(
n
)
+
a
1
(
x
)
y
(
n
−
1
)
+
⋯
+
a
n
−
1
(
x
)
y
′
+
a
n
(
x
)
y
=
0
y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+cdots+a_{n-1}(x)y^{'}+a_n(x)y=0
y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=0
(2)
函数线性相关性
-
设 y 1 ( x ) , ⋯ , y m ( x ) y_1(x),cdots,y_m(x) y1(x),⋯,ym(x)是定义在某区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内得 m m m个函数,若存在不全为0的 m m m个常数 k 1 , ⋯ , k m k_1,cdots,k_m k1,⋯,km,使得 ∑ i = 1 n k i y i ( x ) = 0 sum_{i=1}^{n}k_iy_i(x)=0 ∑i=1nkiyi(x)=0
(1)成立,则称这 m m m个函数在该区间内线性相关,否则称这 m m m个函数在该区间内线性无关 -
当 m = 2 m=2 m=2时,即只有2个函数时, y 1 ( x ) , y 2 ( x ) y_1(x),y_2(x) y1(x),y2(x)线性无关等价于 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) y_1(x),y_2(x) y1(x),y2(x)之比不为常数(设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) ≠ 0 y_1(x),y_2(x)neq{0} y1(x),y2(x)=0)
- 证明:若
y
2
(
x
)
=
k
y
1
(
x
)
y_2(x)=ky_1(x)
y2(x)=ky1(x),
k
k
k为常数,显然
−
k
y
1
(
x
)
+
y
2
(
x
)
-ky_1(x)+y_2(x)
−ky1(x)+y2(x)=
0
0
0,即一定存在
2
2
2个不全为0的常数
−
1
,
k
-1,k
−1,k满足线性相关方程
- 因此 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) y_1(x),y_2(x) y1(x),y2(x)线性无关必有 k k k不为常数,否则线性相关
- 反之,若
k
k
k不为常数,记为
k
(
x
)
k(x)
k(x)
- k 1 y 1 ( x ) + k 2 k y 1 ( x ) k_1y_1(x)+k_2ky_1(x) k1y1(x)+k2ky1(x)= ( k 1 + k 2 k ( x ) ) y 1 ( x ) (k_1+k_2k(x))y_1(x) (k1+k2k(x))y1(x)= 0 0 0, y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)不是常数0,所以 k 1 + k 2 k ( x ) = 0 k_1+k_2k(x)=0 k1+k2k(x)=0,当且仅当 k 1 = k 2 = 0 k_1=k_2=0 k1=k2=0时成立,(否则 k 1 + k 2 k ( x ) k_1+k_2k(x) k1+k2k(x)是一个关于 x x x的函数),所以 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) y_1(x),y_2(x) y1(x),y2(x)线性无关
- 证明:若
y
2
(
x
)
=
k
y
1
(
x
)
y_2(x)=ky_1(x)
y2(x)=ky1(x),
k
k
k为常数,显然
−
k
y
1
(
x
)
+
y
2
(
x
)
-ky_1(x)+y_2(x)
−ky1(x)+y2(x)=
0
0
0,即一定存在
2
2
2个不全为0的常数
−
1
,
k
-1,k
−1,k满足线性相关方程
线性微分方程解的性质
线性方程解和对应齐次方程解的基本性质
- 设 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)为线性方程(1)的解,且 Y ( x ) Y(x) Y(x)为方程(1)对应的齐次方程的解,则 y = Y ( x ) + y ∗ y=Y(x)+y^* y=Y(x)+y∗是(1)的解
- 设 y 1 ∗ ( x ) , y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x),y_2^*(x) y1∗(x),y2∗(x)都是线性方程(1)的解,则 y = y 1 ∗ ( x ) − y 2 ∗ ( x ) y=y_1^*(x)-y_2^*(x) y=y1∗(x)−y2∗(x)是方程(1)对应的齐次方程的解
- 上述两点性质容易通过代入 y y y验证,和线性代数中的线性方程组解的结构类似的特点
齐次线性方程解的线性组合性质
- 若 y 1 ( x ) , ⋯ , y n ( x ) y_1(x),cdots,y_n(x) y1(x),⋯,yn(x)是齐次线性方程(2)的 m m m个解,则它们的线性组合 ∑ i = 1 m C i y i ( x ) sum_{i=1}^{m}C_iy_i(x) ∑i=1mCiyi(x)还是(2)的解
齐次线性方程的通解结构
- 设 y i ( x ) y_i(x) yi(x), i = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,2,cdots,n i=1,2,⋯,n是 n n n阶齐次线性方程(2)的 n n n个线性无关的解, C i C_i Ci, ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (i=1,2,cdots,n) (i=1,2,⋯,n)为 n n n个任意常数,则 y = ∑ i = 1 n C i y i ( x ) y=sum_{i=1}^{n}C_iy_i(x) y=∑i=1nCiyi(x)为方程(2)的通解
- 例如,二阶齐次线性方程的通解可以表示为 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x),其中 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) y_1(x),y_2(x) y1(x),y2(x)线性无关, C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是两个任意常数(不可合并的独立常数)
非齐次线性方程的通解结构
- 设 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)为(1)的一个解, Y ( x ) Y(x) Y(x)为(1)对应的齐次方程(2)的通解,则 y = Y ( x ) + y ∗ ( x ) y=Y(x)+y^*(x) y=Y(x)+y∗(x)为(1)的通解
线性微分方程解的叠加原理
-
设 y i ∗ ( x ) y_i^*(x) yi∗(x)为方程 y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋯ + a n − 1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+cdots+a_{n-1}(x)y^{'}+a_n(x)y y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y= f i ( x ) f_i(x) fi(x), ( i = 1 , 2 ) (i=1,2) (i=1,2)
(1)解- 则
y
3
∗
(
x
)
=
y
1
∗
(
x
)
+
y
2
∗
(
x
)
y_3^*(x)=y_1^*(x)+y_2^*(x)
y3∗(x)=y1∗(x)+y2∗(x) 是
y
(
n
)
+
a
1
(
x
)
y
(
n
−
1
)
+
⋯
+
a
n
−
1
(
x
)
y
′
+
a
n
(
x
)
y
y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+cdots+a_{n-1}(x)y^{'}+a_n(x)y
y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
f_1(x)+f_2(x)
f1(x)+f2(x)
(2)的解 - 本性质容易代入验证
- 则
y
3
∗
(
x
)
=
y
1
∗
(
x
)
+
y
2
∗
(
x
)
y_3^*(x)=y_1^*(x)+y_2^*(x)
y3∗(x)=y1∗(x)+y2∗(x) 是
y
(
n
)
+
a
1
(
x
)
y
(
n
−
1
)
+
⋯
+
a
n
−
1
(
x
)
y
′
+
a
n
(
x
)
y
y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+cdots+a_{n-1}(x)y^{'}+a_n(x)y
y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
f_1(x)+f_2(x)
f1(x)+f2(x)
-
本定理指出,当 f ( x ) = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) f(x)=f_1(x)+f_2(x) f(x)=f1(x)+f2(x),并且可知式(1)的特解 ( i = 1 , 2 ) (i=1,2) (i=1,2)时的特解分别有 y 1 ∗ ( x ) , y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x),y_2^*(x) y1∗(x),y2∗(x),则可直接得到(2)的一个特解 y 3 ∗ ( x ) y_3^*(x) y3∗(x)