幂级数和幂级数的和函数有什么关系？
幂级数和幂级数的和函数有什么关系？
本文例子引用自：80_1幂级数运算，逐项积分、求导【小元老师】高等数学，考研数学
求幂级数
∑
n
=
1
∞
1
n
x
n
sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{n}x^n
n=1∑∞n1xn 的和函数
（1）求收敛半径，由于是不缺项级数所以可以使用
lim
n
→
∞
∣
a
n
+
1
a
n
∣
=
ρ
limlimits_{nrightarrowinfty}|frac{a_{n+1}}{a_n}|=rho
n→∞lim∣anan+1∣=ρ，若是缺项级数则只能使用
lim
n
→
∞
∣
u
n
+
1
(
x
)
u
n
(
x
)
∣
=
ρ
∣
ϕ
(
x
)
∣
<
1
limlimits_{nrightarrowinfty}|frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|=rho|phi(x)|lt 1
n→∞lim∣un(x)un+1(x)∣=ρ∣ϕ(x)∣<1，当然不缺项级数也可使用后者。
ρ
=
lim
n
→
∞
∣
a
n
+
1
a
n
∣
=
lim
n
→
∞
∣
1
n
+
1
1
n
∣
=
1
rho=limlimits_{nrightarrowinfty}|frac{a_{n+1}}{a_n}|=limlimits_{nrightarrowinfty}|frac{frac{1}{n+1}}{frac{1}{n}}|=1
ρ=n→∞lim∣anan+1∣=n→∞lim∣n1n+11∣=1
（2）判断端点处的敛散性
当
x
=
−
1
x=-1
x=−1 时，
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
1
n
sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^nfrac{1}{n}
n=1∑∞(−1)nn1，
u
n
=
1
n
→
0
u_n=frac{1}{n}rightarrow0
un=n1→0 且
u
n
=
1
n
u_n=frac{1}{n}
un=n1递减，级数收敛（利用交错级数的莱布尼茨定理判别）
当
x
=
1
x=1
x=1 时，
∑
n
=
1
∞
1
n
sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{n}
n=1∑∞n1，
p
=
1
p=1
p=1，级数发散（利用p级数判别）
（3）综上，该级数收敛域
[
−
1
,
1
)
[-1,1)
[−1,1)
（4）求收敛域中幂级数的和函数（在收敛域中幂级数等于其和函数，超过收敛域二者不等）
s
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
x
n
=
x
+
1
2
x
2
+
1
3
x
3
+
⋯
+
1
n
x
n
+
⋯
s(x)=sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{n}x^n=x+frac{1}{2}x^2+frac{1}{3}x^3+cdots+frac{1}{n}x^n+cdots
s(x)=n=1∑∞n1xn=x+21x2+31x3+⋯+n1xn+⋯
逐项求导
s
′
(
x
)
=
(
∑
n
=
1
∞
1
n
x
n
)
′
=
1
+
x
+
x
2
+
⋯
+
1
n
x
n
−
1
+
⋯
=
1
1
−
x
s'(x)=big(sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{n}x^nbig)'=1+x+x^2+cdots+frac{1}{n}x^{n-1}+cdots=frac{1}{1-x}
s′(x)=(n=1∑∞n1xn)′=1+x+x2+⋯+n1xn−1+⋯=1−x1
左右两端同时积分（右侧逐项积分）
s
(
x
)
=
s
(
0
)
+
∫
0
x
s
′
(
t
)
d
t
=
0
+
∫
0
x
1
1
−
t
d
t
=
−
ln
(
1
−
x
)
s(x)=s(0)+int_0^xs'(t)dt=0+int_0^xfrac{1}{1-t}dt=-ln(1-x)
s(x)=s(0)+∫0xs′(t)dt=0+∫0x1−t1dt=−ln(1−x)
上式为什么还有
s
(
0
)
s(0)
s(0)?
∫
0
x
s
′
(
t
)
d
t
=
s
(
x
)
∣
0
x
=
s
(
x
)
−
s
(
0
)
s
(
x
)
=
s
(
0
)
+
∫
0
x
s
′
(
t
)
d
t
int_0^xs'(t)dt=s(x)|_0^x=s(x)-s(0)\ ~\ s(x)=s(0)+int_0^xs'(t)dt
∫0xs′(t)dt=s(x)∣0x=s(x)−s(0) s(x)=s(0)+∫0xs′(t)dt
最终收敛域上幂级数的和函数为：
s
(
x
)
=
−
ln
(
1
−
x
)
，
x
∈
[
−
1
,
1
)
s(x)=-ln(1-x)，xin[-1,1)
s(x)=−ln(1−x)，x∈[−1,1)
我们为什么要兜圈子先对级数求导（或积分）然后再进行积分（或求导）呢？
主要想利用等比级数，因为其和函数容易求得，而逐项求导和积分的目的是将所给幂级数变换为等比级数，随后利用等比级数求出所给幂级数的和函数
我们在图像中看看到底幂级数和幂级数的和函数有什么关系？
下图中幂级数的图像为绿色曲线，其实不是真正的图像，因为
n
n
n为无穷大，笔者这里
n
n
n只取到了9，仅做示意。下图中红色曲线为幂级数和函数的图像，我们可以发现在收敛域中幂级数等于其和函数，超过收敛域二者是不等的
