相对论【2】杆和钟的运动

前言

好久没学相对论了，上一篇 相对论【1】洛伦兹变换 其实没有完全弄懂。

虽然最近写了很多别的内容，机器学习、半导体、量子力学等，自己还有一些课要学，但是虽然做了这么多，还是感觉没做什么实事啊！我射频还没学进去！！！学量子力学和相对论也算是实事，机器学习敲的垃圾代码也要继续敲，一步步把书啃完再去看学到了什么——什么！这种方法有问题，要直接看干货？可是我不把机器学习手册一步步啃完，怎么知道什么有用。我甚至是学完一章就撕掉，没错书已经越来越薄了

不要在网上搜索一些知名的概念，比如相对论的，还是买书比较好，虽然书不一定对，但是有系统编撰过，买知名的书籍。网上大家都没弄懂就开始评论批判和否定了，人还是要活在自己的圈子里比较好，不要碰其他人的圈子。就算你觉得他们是正常人，或者是高学历的人，但是价值观不同，懂的水平不一样，接触也没有价值。一些高学历的教授也是满嘴的科学尽头就是神学什么的，毕竟都是他不了解的领域，随便说呗。

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洛伦兹变换的推广

{ x = c t x ′ = c t ′ u = v t x ′ = γ ( x − u ) begin{cases} x=ct \ x'=ct' \ u=vt \ x' = gamma(x - u) end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​x=ctx′=ct′u=vtx′=γ(x−u)​
$$\downarrow$$
{ x ′ = x − v t 1 − v 2 c 2 t ′ = t − v c 2 x 1 − v 2 c 2 begin{cases} x'=frac{x-vt}{ sqrt{1 - frac{v^2}{c^2} } } \\ t' = frac{ t - frac{v}{c^2} x }{ sqrt{1 - frac{v^2}{c^2} } } end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​x′=1−c2v2​ ​x−vt​t′=1−c2v2​ ​t−c2v​x​​

之前的洛伦兹变换的推导，只在x轴上，现在要推广到三维空间中。

{ r = x 2 + y 2 + z 2 = c t r ′ = x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 = c t ′ begin{cases} r=sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 } = ct \ r'=sqrt{ x'^2 + y'^2 + z'^2 } = ct' end{cases} {r=x2+y2+z2 ​=ctr′=x′2+y′2+z′2 ​=ct′​

$$\downarrow$$

x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 − c 2 t ′ 2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 x'^2+y'^2+z'^2 - c^2 t'^2 = x^2 + y^2 + z^2 - c^2 t^2 x′2+y′2+z′2−c2t′2=x2+y2+z2−c2t2

前面的变换是狭义的洛伦兹变换，后面的变换是完全的空间变换。不管 K , K ′ K,K' K,K′两个坐标系是否平行

推广后的完全空间变换与直角坐标系被一个指向其他方向的新直角坐标系代换相当。用

$x,y,z,y,t$的线性齐次函数来表示 x ′ , y ′ , z ′ , t ′ x',y',z',t' x′,y′,z′,t′

运动的米尺

K’上的米尺

K ′ K' K′坐标系相对$K$坐标系，运动速度为$v$

在 K ′ K' K′坐标系 x ′ x' x′轴上放一根米尺，起点在 x ′ = 0 x'=0 x′=0,终点在 x ′ = 1 x'=1 x′=1，通过洛伦兹变换可知在

$K$坐标系$t=0$时看

x s t a r t = 0 x_{start}=0 xstart​=0
x e n d = 1 − v 2 c 2 x_{end}=sqrt{ 1 - frac{v^2}{c^2} } xend​=1−c2v2​ ​
$K$坐标系中对应两点长度，不足1

运动中物体长度变短

l = l 0 1 − v 2 c 2 l=l_0sqrt{ 1- frac{v^2}{c^2} } l=l0​1−c2v2​ ​

K上的米尺

$K$坐标系上放一根米尺，起点在$x=0$，终点在$x=1$,，通过洛伦兹变换可知在

K ′ K' K′坐标系$t=0$时看

x s t a r t ′ = 0 x'_{start}=0 xstart′​=0

x e n d ′ = 1 1 − v 2 c 2 x'_{end}=frac{1}{ sqrt{ 1 - frac{v^2}{c^2} } } xend′​=1−c2v2​ ​1​

在 K ′ K' K′坐标系上看，米尺长度增加了。符合相对性原理。

运动的钟

在 K ′ K' K′坐标系上 x ′ = 0 x'=0 x′=0处放一个没有误差的秒钟， t ′ = 0 , t ′ = 1 t'=0,t'=1 t′=0,t′=1对应两个滴答。有洛伦兹

变换可知在$K$坐标系$x=0$上测量

t s t a r t = 0 t_{start}=0 tstart​=0
t e n d = 1 1 − v 2 c 2 t_{end}=frac{1}{sqrt{ 1 - frac{v^2}{c^2} }} tend​=1−c2v2​ ​1​

运动中时间变长

t = t 0 1 − v 2 c 2 t=frac{t_0}{sqrt{ 1 - frac{v^2}{c^2} }} t=1−c2v2​ ​t0​​