主成分分析法(PCA)及其python实现

主成分分析法（Principal Component Analysis，PCA）是一种用于把高维数据降成低维，使分析变得更加简便的分析方法。比如我们的一个样本可以由 $n$ 维随机变量 $X_1,X_2,...,X_n)$ 来刻画，运用主成分分析法，我们可以把这些分量用更少的、这 $n$ 个分量的线性组合来表示。本文多为学习后的个人理解，如有错误还请指出。

基本思想

我们把降维后的变量称为主成分（Principal Component），设其为 $Z_1,Z_2,...,Z_n$ （我们并不取这全部的 $n$ 个变量，否则降维就没有意义了）。 $Z_i$ 称为第 $i$ 主成分。每个主成分都是原来 $n$ 个变量的线性组合，即
$begin{cases}Z_1=a_{11}X_1+a_{12}X_2+...+a_{1n}X_n\ Z_2=a_{21}X_1+a_{22}X_2+...+a_{2n}X_n \ ...\Z_n=a_{n1}X_1+a_{n2}X_2+...+a_{nn}X_n \ end{cases}$
或者写成更简便的线性代数形式：设 $Z=begin{pmatrix}Z_1\Z_2\ vdots \Z_nend{pmatrix},X=begin{pmatrix}X_1\X_2\ vdots \X_nend{pmatrix},A=begin{pmatrix}a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & cdots & a_{nn}end{pmatrix},$ 则这个关系可被表示为 $Z = A X .$
为了达到降维的目的，我们需要保证

$1)Z_1,Z_2,...,Z_n$ 是线性无关的，这要求 $A$ 是正交阵。
如果存在线性相关的关系（ $\exists$ 不全为 $0$ 的 $k_1,k_2,...,k_n$ 使得 $k_1Z_1+k_2Z_2+...+k_nZ_n=0$ ），我们得到的结果中就存在着冗余信息(某个主成分可以由其它主成分表示)，这种情况应该被排除。

$(2)$ 选出 $n$ 个主成分中能显著代表原本变量的 $k (k < n)$ 个，来实现对数据的降维。
这一条提出了一个问题：我们按照什么标准来衡量主成分的好坏关系呢？统计学认为，一组数据越分散，它的方差越大，它所包含的信息就越多。（知乎的这个问题讨论了这一点）因此，PCA选出这 $n$ 个主成分中方差最大的 $k$ 个作为新的变量。

数学推导

设我们的 $m$ 个样本对应的数据矩阵为 $R=begin{pmatrix}r_{11} & cdots & r_{1m}\ vdots & ddots & vdots \ r_{n1} & cdots & r_{nm}end{pmatrix}$ ,每列代表一个样本；我们先将其标准化，使每行的均值为 $0$ ，并消除量纲的影响，便于进一步处理：

$x_{ij}=(r_{ij}-bar{r_i})/s_i,$

其中 $bar{r_i}$ 和 $s_i$ 分别为第 $i$ 行的均值和样本标准差，记处理后的矩阵为 $X=(x_{ij})_{ntimes m};$ 对该矩阵做线性变换的结果为 $F=AX=(z_{ij})_{ntimes m}.$

我们用 $D (Z)$ 表示 $n$ 维随机变量 $Z=begin{pmatrix}Z_1\Z_2\ vdots \Z_nend{pmatrix}$ 的协方差矩阵，那么有

$Cov(Z_1,Z_1) & cdots & Cov(Z_1,Z_n)\ vdots & ddots & vdots \ Cov(Z_n,Z_1) & cdots & Cov(Z_n,Z_n)end{pmatrix}$

由上一部分的条件 $(1)$ ，应当有 $Z_i,Z_j(ineq j)$ 线性不相关，即 $Cov(Z_i,Z_j)=0$ .而 $Cov(Z_i,Z_i)=D(Z_i)$ ,即 $Z_i$ 的方差（注意跟上文的 $D (Z)$ 的记号意义不同，上面的 $D$ 指的是协方差矩阵），因此 $D(Z_i)$ 就是一个对角矩阵，即

$D(Z)=begin{pmatrix}D(Z_1) & & \ & D(Z_2) & \ & & ddots & \ & & & D(Z_n)end{pmatrix}$

由协方差的定义， $Cov(Z_i,Z_j)=E(Z_iZ_j)-E(Z_i)E(Z_j);$

由于 $X$ 经我们处理，对任意的 $X_i$ 都有 $E(X_i)=0$ ,故 $E(Z_i)=E(a_{i1}X_1+...+a_{in}X_n)=0,$

$Cov(Z_i,Z_j)=E(Z_iZ_j)=frac{1}{m}sumlimits_{t=1}^{m}z_{it}z_{jt}.$ 那么上面的 $D (Z)$ 还可表示为

$Cov(Z_1,Z_1) & cdots & Cov(Z_1,Z_n)\ vdots & ddots & vdots \ Cov(Z_n,Z_1) & cdots & Cov(Z_n,Z_n)end{pmatrix}=begin{pmatrix}D(Z_1) & & \ & D(Z_2) & \ & & ddots & \ & & & D(Z_n)end{pmatrix}=frac{1}{m}FF^T.$

又因为 $F=AX,D(Z)=frac{1}{m}(AX)(AX)^T=frac{1}{m}(AX)(X^TA^T)=A(frac{1}{m}XX^T)A^T=AD(X)A^T$ ，这里 $D (X)$ 表示 $n$ 维随机变量 $begin{pmatrix}X_1\X_2\ vdots \X_nend{pmatrix}$ 的协方差矩阵。

由于 $D (X)$ 是实对称矩阵（这一点由协方差矩阵的定义即得： $Cov(X_i,X_j)=Cov(X_j,X_i)$ ），由实对称矩阵的性质， $D (X)$ 一定可以相似对角化，即存在正交矩阵 $P,$ 使得

$P^TD(X)P=begin{pmatrix}lambda_1 & & & \ & lambda_2 & & \ & & ddots & \ & & & lambda_nend{pmatrix}hspace{4.5cm}(1)$

其中 $lambda_1...lambda_n$ 为 $D (X)$ 的 $n$ 个特征值。

这时候我们取出上面得到的式子

$D(Z)=begin{pmatrix}D(Z_1) & & \ & D(Z_2) & \ & & ddots & \ & & & D(Z_n)end{pmatrix}=AD(X)A^Thspace{1.5cm}(2)$

由基本思想部分的前提， $A$ 应当是正交矩阵，于是我们得到 $begin{pmatrix}D(Z_1) & & \ & D(Z_2) & \ & & ddots & \ & & & D(Z_n)end{pmatrix} sim D(X).$

由线性代数定理（若 $n$ 阶方阵 $A$ 与对角矩阵 $D$ 相似，则 $D$ 对角线上的元素即为 $A$ 的 $n$ 个特征值）， $lambda_1...lambda_n$ 即 $D(Z_1)...D(Z_n).$ 更巧妙的是，我们可以求得变换矩阵 $A=P^T$ ,即将 $D (X)$ 相似对角化所需的正交阵之转置。得到了这个变换矩阵，我们就能得到 $n$ 个变换后的主成分了。具体地说，若

$A=P^T=begin{pmatrix}a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & cdots & a_{nn}end{pmatrix},$
则第 $i$ 个主成分 $Z_i=a_{i1}X_1+a_{i2}X_2+...+a_{in}X_n:$ $X_i$ 前面的系数即 $A$ 的第 $i$ 行， $P$ 的第 $i$ 列，正好是 $D (X)$ 的第 $i$ 个特征值对应的特征向量（指的是相似对角化矩阵 $P$ 中标准的特征向量）。

推导结论

经过上面一大串推导，我们得到如下结论：

若 $X$ 是标准化处理过的数据矩阵，那么 $D (X)$ 的 $n$ 个特征值 $lambda_1,lambda_2,...,lambda_n$ 即为线性变换后的 $n$ 个随机变量（即我们提到的主成分） $Z_1,Z_2,...,Z_n$ 的方差 $D(Z_1),D(Z_2),...,D(Z_n)$ ；线性变换所需矩阵 $A=P^T$ ,其中 $P$ 为将 $D (X)$ 相似对角化所需的正交阵(由线性代数知识，这也是 $D (X)$ 的 $n$ 个特征向量组成的矩阵)。

这个结论使我们能够求出线性变换所需要的矩阵 $A$ ;此外我们可以根据特征值将 $n$ 个主成分排序，求得方差最大的 $k$ 个主成分。更具体地，求排序后的 $n$ 个主成分的算法如下：

$将原始数据矩阵R标准化:x_{ij}=(r_{ij}-bar{r_i})/s_i,得到矩阵X;$
$2. 求 X 的协方差矩阵 D (X);$
$3.求D(X)的特征值lambda_1...lambda_n和将其相似对角化需要的正交矩阵P;$
$4. 方差第 i 大的主成分系数即第 i 大特征值对应的（单位化了的）特征向量 .$

举个例子：（数据来自https://zhuanlan.zhihu.com/p/454447043）
我们要将如下的数据中5个变量（设能力，品格，担保，资本，环境为 $X_1...X_5$ ）降维：
在这里插入图片描述
首先我们写出它对应的原始数据矩阵：
$64\ 64 & 63 & 58 & cdots & 63 & 66 \ vdots & & & & & vdots\ 65 & 64 & 66 & cdots &66 & 67end{pmatrix}_{5 times 15}$
然后将其标准化：
$0.0\ -0.06996503 & cdots &0.62968524 \ vdots & &vdots\ 0.29580399 & cdots &1.77482393end{pmatrix}_{5 times 15}$
求出 $X$ 的协方差矩阵：
$&0.01901814\ 0.8816601 & 1.0 & cdots &0.20695934 \ vdots & & &vdots\ 0.01901814 & & cdots &1.0end{pmatrix}_{5 times 5}$
求出 $D (X)$ 的特征值（从大到小排列）和特征向量：
$lambda_1=3.45317841 hspace{1cm}pmb x_1=begin{pmatrix}0.48198 &0.51227 &0.45384& 0.51336& 0.18914end{pmatrix}^T$
$lambda_2=1.22308928 hspace{1cm}pmb x_2=begin{pmatrix}0.33297 &0.13247 &-0.39212 &0.20476 &-0.82213end{pmatrix}^T$
$lambda_3=0.17872745 hspace{1cm}pmb x_3=begin{pmatrix}0.42459 & 0.1072& -0.72892& -0.05405 & 0.52344end{pmatrix}^T$
$lambda_4=0.09923816 hspace{1cm}pmb x_4=begin{pmatrix}-0.39138 & 0.84166 &-0.11708 &-0.34902 &-0.05398end{pmatrix}^T$
$lambda_5=0.0457667 hspace{1cm}pmb x_5=begin{pmatrix}-0.56866 &0.01252& -0.3086 & 0.75485 & 0.1069end{pmatrix}^T$

我们怎么确定最终取出几个主成分呢？一般认为当取出的 $k$ 个主成分方差贡献比例之和达到 $85%$ 时就可以较好地代替原来的 $n$ 个变量了。因此我们还需要计算每个特征值所对应的方差贡献比例。由于 $lambda_i=D(Z_i),$ 特征值 $lambda_i$ 的方差占比即 $frac{lambda_i}{sumlimits_{j=1}^{n}lambda_i}.$ 按照上述方法，计算方差占比如下：

特征值 $lambda_1$ 的方差贡献率 $0.69064$ ,累计方差贡献率 $0.69064;$
特征值 $lambda_2$ 的方差贡献率 $0.24462$ ,累计方差贡献率 $0.93525;$ （已到达 $85%$ ）
特征值 $lambda_3$ 的方差贡献率 $0.03575$ ,累计方差贡献率 $0.971;$
特征值 $lambda_4$ 的方差贡献率 $0.01985$ ,累计方差贡献率 $0.99085;$
特征值 $lambda_5$ 的方差贡献率 $0.00915$ ,累计方差贡献率 $1.0.$

可以看到前 $2$ 个特征值对应的主成分即达到了 $85%$ 的方差贡献率，因此我们可以把原来的 $5$ 个变量“浓缩”表示为下面的 $2$ 个主成分（系数即为特征值对应的特征向量的各分量）：

$z_1=0.48198x_1+0.51227x_2+0.45384x_3+0.51336x_4+0.18914x_5;$
$z_2=0.33297x_2+0.13247x_2-0.39212x_3+0.20476x_4-0.82213x_5.$
这样，我们就成功实现了降维，以后我们分析数据的时候就可以用 $z_1$ 和 $z_2$ 来代替原来的五个指标了。

python实现

下面我们用python来实现一下上述的过程。

import numpy as np
from numpy import linalg 

class PCA:

    '''
    dataset 形如array([样本1,样本2,...,样本m]),每个样本是一个n维的ndarray
    '''
    def __init__(self, dataset):
    	# 这里的参数跟上文是反着来的(每行是一个样本)，需要转置一下
        self.dataset = np.matrix(dataset, dtype='float64').T

    '''
    求主成分;
    threshold可选参数表示方差累计达到threshold后就不再取后面的特征向量.
    '''
    def principal_comps(self, threshold = 0.85):
    	# 返回满足要求的特征向量
        ret = []
        data = []

		# 标准化
        for (index, line) in enumerate(self.dataset):
            self.dataset[index] -= np.mean(line)
            # np.std(line, ddof = 1)即样本标准差(分母为n - 1)
            self.dataset[index] /= np.std(line, ddof = 1)
        # 求协方差矩阵
        Cov = np.cov(self.dataset)
		# 求特征值和特征向量
        eigs, vectors = linalg.eig(Cov)
		# 第i个特征向量是第i列，为了便于观察将其转置一下
        for i in range(len(eigs)):
            data.append((eigs[i], vectors[:, i].T))
        # 按照特征值从大到小排序
        data.sort(key = lambda x: x[0], reverse = True)

        sum = 0
        for comp in data:
            sum += comp[0] / np.sum(eigs)
            ret.append(
                tuple(map(
                	# 保留5位小数
                    lambda x: np.round(x, 5),
                    # 特征向量、方差贡献率、累计方差贡献率
                    (comp[1], comp[0] / np.sum(eigs), sum)
                ))
            )
            print('特征值:', comp[0], '特征向量:', ret[-1][0], '方差贡献率:', ret[-1][1], '累计方差贡献率:', ret[-1][2])
            if sum > threshold:
                return ret      

        return ret

测试一下刚才的例子：

p = PCA(
[[66, 64, 65, 65, 65],
 [65, 63, 63, 65, 64],
 [57, 58, 63, 59, 66],
 [67, 69, 65, 68, 64],
 [61, 61, 62, 62, 63],
 [64, 65, 63, 63, 63],
 [64, 63, 63, 63, 64],
 [63, 63, 63, 63, 63],
 [65, 64, 65, 66, 64],
 [67, 69, 69, 68, 67],
 [62, 63, 65, 64, 64],
 [68, 67, 65, 67, 65],
 [65, 65, 66, 65, 64],
 [62, 63, 64, 62, 66],
 [64, 66, 66, 65, 67]]
)

lst = p.principal_comps()

print(lst)

输出结果：

# 这部分是运行时输出的
特征值: 3.4531784074578318 特征向量: [0.48198 0.51227 0.45384 0.51336 0.18914] 方差贡献率: 0.69064 累计方差贡献率: 0.69064
特征值: 1.2230892804516 特征向量: [ 0.33297  0.13247 -0.39212  0.20476 -0.82213] 方差贡献率: 0.24462 累计方差贡献率: 0.93525
# 这部分是返回的结果，为了美观稍微调整了一下格式
[
(array([0.48198, 0.51227, 0.45384, 0.51336, 0.18914]), 0.69064, 0.69064), 
(array([ 0.33297,  0.13247, -0.39212,  0.20476, -0.82213]), 0.24462, 0.93525)
]

我这里设置的返回结果是一个三元组 $(特征向量, 方差贡献率, 累计方差贡献率)$ ,如果有需要也可以自己调整一下返回的结果格式。此外，通过调整threshold可选参数可以设置累计方差贡献率到达多少时停止取主成分向量（默认为0.85）。

使用sklearn的PCA模块实现

这种经典的算法sklearn库也已经帮我们实现好了。对于上面的例子，其等价的使用sklearn库的代码如下：

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA

X = np.array(
[[66, 64, 65, 65, 65],
 [65, 63, 63, 65, 64],
 [57, 58, 63, 59, 66],
 [67, 69, 65, 68, 64],
 [61, 61, 62, 62, 63],
 [64, 65, 63, 63, 63],
 [64, 63, 63, 63, 64],
 [63, 63, 63, 63, 63],
 [65, 64, 65, 66, 64],
 [67, 69, 69, 68, 67],
 [62, 63, 65, 64, 64],
 [68, 67, 65, 67, 65],
 [65, 65, 66, 65, 64],
 [62, 63, 64, 62, 66],
 [64, 66, 66, 65, 67]]
)

# n_components 指明了降到几维
pca = PCA(n_components = 2)

# 利用数据训练模型（即上述得出特征向量的过程）
pca.fit(X)

# 得出原始数据的降维后的结果；也可以以新的数据作为参数，得到降维结果。
print(pca.transform(X))

# 打印各主成分的方差占比
print(pca.explained_variance_ratio_)

运行结果：

[[-1.51394918 -0.21382815]
 [ 0.25137676 -1.8134245 ]
 [10.61577071  2.68155382]
 [-6.48520841 -1.16575919]
 [ 5.53026102 -1.52083322]
 [ 0.70154125 -1.8544697 ]
 [ 1.82460091 -1.29624147]
 [ 2.44281085 -1.60484093]
 [-1.40146605 -0.59189041]
 [-7.76925956  3.34817657]
 [ 1.8850487   0.61749314]
 [-5.41819247 -0.9163256 ]
 [-1.764172    0.155228  ]
 [ 3.06230672  1.51679123]
 [-1.96146925  2.65837042]]
# 下面是方差贡献率
[0.82399563 0.11748567]

我们发现这个方差贡献率（也就是特征值占比）跟我们手写的很不一样。（手写的是[0.69064, 0.24462]）。这里可能会出现分歧的地方就是是否对原始数据除以样本标准差。当我把手写代码部分的

self.dataset[index] /= np.std(line, ddof = 1)

这一行注释掉后，发现运行结果与sklearn库的基本一致了：

特征值: 22.075235372070864 特征向量: [0.56177 0.58975 0.27868 0.50573 0.05644] 方差贡献率: 0.824 累计方差贡献率: 0.824
特征值: 3.1474971323292125 特征向量: [ 0.37826 -0.06431 -0.61334  0.06946 -0.68686] 方差贡献率: 0.11749 累计方差贡献率: 0.94148

因此可以得出sklearn库在训练时似乎没有消除量纲，即没有对数据除以其样本标准差。当然，这仅仅是个人理解，不过与sklearn库结果基本吻合大致上印证了这个猜想。在一篇文章里我找到了关于量纲的讨论：若各个变量的单位一致，则各个属性是可以比较的，此时可以直接求协方差；但当各个变量单位不同时（如身高/体重），这时不同变量之间没有可比性，这时就应该消除量纲的影响（即除以样本标准差）。

参考资料

1.https://www.cnblogs.com/Luv-GEM/p/10765574.html
2.https://www.zhihu.com/question/274997106/answer/1055696026
3.https://zhuanlan.zhihu.com/p/454447043
4.https://www.jianshu.com/p/c21c0e2c403a