代码随想录算法训练营第五十三天 | 子序列系列2

1143.最长公共子序列

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划子序列问题经典题目 | LeetCode：1143.最长公共子序列_哔哩哔哩_bilibili

状态：dp定义想不到，看了dp定义能写出后面部分。

思路

动规五部曲

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

    dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

    有同学会问：为什么要定义长度为[0, i - 1]的字符串text1，定义为长度为[0, i]的字符串text1不香么？

    这样定义是为了后面代码实现方便，其实就是简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。

  2. 确定递推公式

    主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

    如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

    如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

    即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

  3. dp数组如何初始化

    先看看dp[i][0]应该是多少呢？test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;

    同理dp[0][j]也是0。其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

  4. 确定遍历顺序

    从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：

    在这里插入图片描述

    那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

代码

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int> (text2.size() + 1, 0));

        for(int i = 1; i <= text1.size(); i++){
            for(int j = 1; j <= text2.size(); j++){
                if(text1[i - 1] == text2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

1035.不相交的线

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划之子序列问题，换汤不换药 | LeetCode：1035.不相交的线_哔哩哔哩_bilibili

状态：想不出来。

思路

绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！

直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！

那么本题就和我们刚刚讲过的这道题目动态规划：1143.最长公共子序列 (opens new window)就是一样一样的了。

一样到什么程度呢？ 把字符串名字改一下，其他代码都不用改，直接copy过来就行了。

代码

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp(nums1.size() + 1, vector<int> (nums2.size() + 1, 0));

        for(int i = 1; i <= nums1.size(); i++){
            for(int j = 1; j <= nums2.size(); j++){
                if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
            }
        }
        return dp[nums1.size()][nums2.size()];
    }
};

53. 最大子序和

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：看起来复杂，其实是简单动态规划 | LeetCode：53.最大子序和_哔哩哔哩_bilibili

状态：能做出来。

思路

动规五部曲

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

    以nums[i]为结尾的最大连续子序列和为dp[i]。

  2. 确定递推公式

    dp[i]只有两个方向可以推出来：

    • dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
    • nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

    一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

  3. dp数组如何初始化

    从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。

    dp[0]应该是多少呢? 根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

  4. 确定遍历顺序

    递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。

代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp(nums.size(), 0);
        dp[0] = nums[0];

        for(int i = 1; i < nums.size(); i++){
            dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i]);
        }

        int res = dp[0];
        for(int i = 1; i < nums.size(); i++){
            if(res < dp[i]) res = dp[i];
        }
        return res;
    }
};