线性代数行列式的几何含义

行列式可以看做是一系列列向量的排列，并且每个列向量的分量可以理解为其对应标准正交基下的坐标。

行列式有非常直观的几何意义，例如：

二维行列式按列向量排列依次是$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，可以表示$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$构成的平行四边形的面积

∣ a b ∣ = ∣ ( x a x + y a y ) ( x b x + y b y ) ∣ = x a x b ∣ x x ∣ + x a y b ∣ x y ∣ + y a x b ∣ y x ∣ + y a y b ∣ y y ∣ = x a x b ( 0 ) + x a y b ( + 1 ) + y a x b ( − 1 ) + y a y b ( 0 ) = x a y b − y a x b . begin{aligned} |mathbf{a b}| & =left|left(x_{a} mathbf{x}+y_{a} mathbf{y}right)left(x_{b} mathbf{x}+y_{b} mathbf{y}right)right| \ & =x_{a} x_{b}|mathbf{x} mathbf{x}|+x_{a} y_{b}|mathbf{x y}|+y_{a} x_{b}|mathbf{y} mathbf{x}|+y_{a} y_{b}|mathbf{y} mathbf{y}| \ & =x_{a} x_{b}(0)+x_{a} y_{b}(+1)+y_{a} x_{b}(-1)+y_{a} y_{b}(0) \ & =x_{a} y_{b}-y_{a} x_{b} . end{aligned} ∣ab∣​=∣(xa​x+ya​y)(xb​x+yb​y)∣=xa​xb​∣xx∣+xa​yb​∣xy∣+ya​xb​∣yx∣+ya​yb​∣yy∣=xa​xb​(0)+xa​yb​(+1)+ya​xb​(−1)+ya​yb​(0)=xa​yb​−ya​xb​.​

三维行列式按列向量排列依次是$\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$和$\mathbf{c}$，可以表示$\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$和$\mathbf{b}$构成的平行六面体的体积

∣ a b c ∣ = ∣ ( x a x + y a y + z a z ) ( x b x + y b y + z b z ) ( x c x + y c y + z c z ) ∣ = x a y b z c − x a z b y c − y a x b z c + y a z b x c + z a x b y c − z a y b x c . begin{aligned} |mathbf{a b c}| & =left|left(x_{a} mathbf{x}+y_{a} mathbf{y}+z_{a} mathbf{z}right)left(x_{b} mathbf{x}+y_{b} mathbf{y}+z_{b} mathbf{z}right)left(x_{c} mathbf{x}+y_{c} mathbf{y}+z_{c} mathbf{z}right)right| \ & =x_{a} y_{b} z_{c}-x_{a} z_{b} y_{c}-y_{a} x_{b} z_{c}+y_{a} z_{b} x_{c}+z_{a} x_{b} y_{c}-z_{a} y_{b} x_{c} . end{aligned} ∣abc∣​=∣(xa​x+ya​y+za​z)(xb​x+yb​y+zb​z)(xc​x+yc​y+zc​z)∣=xa​yb​zc​−xa​zb​yc​−ya​xb​zc​+ya​zb​xc​+za​xb​yc​−za​yb​xc​.​