泰勒公式专题拉格朗日余项与佩亚诺余项,麦克劳林公式

文章目录

1. 泰勒公式原理
2. 具有拉格朗日余项的泰勒公式。
3. 具有佩亚诺余项的泰勒公式
4. 麦克劳林公式

1. 泰勒公式原理

泰勒公式，也即泰勒展开式。在进行数学计算时，给定一个函数 $f (x)$ ，如果该函数满足一定的条件（如n阶可导等），则们可以将其写成多项式的形式，以达到化繁为简，解决问题的目的。

n次多项式的通式如下所示：

$P_n=a_0 + a_1x + a_2 x^2 + a_3x^3 + ... +a_nx^n$

仿照该通式，给定函数 $f (x)$ ，并指定点 $x_{0}$ ，关于 $x_0$ 可以将已知函数 $f (x)$ 写成多项式 $P_n$ 的形式如下式所示：

$P_n(x)=f(x_0) + frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + frac{f''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 +$

$frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + ... +frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

$=sum_{i=0}^{n}frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$

则
$f(x)=p_n(x)+R_n(x)$

其中，参照点 $x_0$ 为0的泰勒公式称为麦克劳林公式。

此外,式子中的 $R_n(x)$ 是使用 $P_n(x)$ 近似 $f (x)$ 的误差，该误差被称为余项。
该余项有两种表示方式，一种是拉格朗日余项，一种是佩亚诺余项。

2. 具有拉格朗日余项的泰勒公式。

拉格朗日余项可以写作

$R_n(x)=frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

此时泰勒定理可以叙述为：

设 $f (x)$ 在闭区间[a,b]有n阶连续的导数，在开区间(a,b)内有直到n+1阶导数，
$x_0∈[a,b]$ ， $x \in [a, b]$ 是任意两点，则至少存在一点 $ξ$ 介于 $x$ 和 $x_0$ 之间，使得

$f(x)=sum_{i=0}^{n}frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i +frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
成立。

由公式可见，拉格朗日余项对误差的存在持肯定态度。在含有拉格朗日余项的泰勒公式中，误差的大小与指定的公式阶数有关，该误差是不可避免的，只能尽可能地减小它。公式的阶数越高（n越大），误差就越小。反之，阶数越低，则误差越大。
这个思想，与机器学习中的梯度下降法有些相似（但不相同），当然泰勒公式在机器学习中的主要应用也是梯度迭代。在很多技术应用时，很多情况下计算达到一定的精度，即可满足我们的需求了，而不追求百分百准确。

具有拉格朗日余项的0阶泰勒公式，即拉格朗日中值公式：

$f(x)=f(x_0)+f'(xi)(x-x_0)$

3. 具有佩亚诺余项的泰勒公式

虽然函数经过具有拉格朗日余项的泰勒公式变化后的误差项（余项），无法消除。
但是，在佩亚诺余项将该误差写成了极限的形式。这使得我们在研究极限问题 $x→x_0$ 时，
佩亚诺余项会以一个高阶无穷小的形式参与运算，进而得到精准的结果。

因此在运用泰勒公式求极限的时候，一定要写佩亚诺余项。

佩亚诺余项可写作：

$R_n=o((x-x_0)^n)$

其中，佩诺亚余项 $R_n(x)是(x-x_0)^n$ 的高阶无穷小，即 $limlimits_{x to x_0}frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^n}=0$ 。

则此时泰勒定理可以叙述为：

设 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 具有n阶导数（这就意味着f(x)在 $x=x_0$ 的某邻域内应具有 $n - 1$ 阶导数，且 $f^{n-1}(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续），x为 $x_0$ 的充分小的邻域内的一点，则有

$f(x)=sum_{i=0}^{n}frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + o((x-x_0)^n)$

具有佩诺亚余项的1阶泰勒公式，也即微分与增量之间的关系式：

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +o((x-x_0))$

4. 麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况。 $x_0=0$ 时的泰勒公式被称为麦克劳林公式。
常用的含佩亚诺余项的麦克劳林公式如下：

$e^x=sum_{i=0}^nfrac{1}{i!}x^i+o(x^n)=1 + x + frac{1}{2!}x^2 + frac{1}{3!}x^3 + ... + frac{1}{n!}x^n +o(x^n)$

对 $f (x) = sin x$ ， $x_0=0$

其麦克劳林公式第一项为0阶导数项，即未求导项， $s in (0) = 0$
第二项，第三项，第四项，第五项，依次为：

一阶导数项： $sin 'x_0 = cos x_0$ ，符号为正
二阶导数项： $cos 'x_0=-sin x_0$ ，值为0
三阶导数项： $sin x_0)'=- cos x_0$ ，符号为负
四阶导数项： $cos x_0)'= sin x_0$ ，值为0

即对 $sin x$ 每求四阶导数就会循环一次，

故第一项 $s in 0$ （未求导项），第三项（二阶导数项），第五项（四阶导数项），第七项（六阶导数项）…都为零，因此可以忽略掉。
第2，6，10，14…项符号位正，
第4，8，12，16…项符号为负。

所以 $s in x$ 的麦克劳林公式可以表示为：

$-frac{1}{3!}x^3 +frac{1}{5!}x^5 -frac{1}{7}x^7 + frac{1}{9!}x^9 - ... +frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}+o(x^{2n+2})$

其中，佩亚诺余项这里表示为 $o(x^{2n+2})$ ，因为第 $x^{2n+2}$ 项为0。所以这里如果将佩诺亚余项写为 $o(x^{2n+1})$ 也是可以的，不会影响计算的结果。至于具体写成哪一种形式，要根据计算的具体过程而定，选择更有利的写法。

下边给出四组极限计算示例，以供理解选择 $o(x^{2n+1})$ 还是 $o(x^{2n+2})$ ：

$limlimits_{x to 0}frac{x^2 + o(x^2)}{x^2ln2}=frac{1}{ln 2}+0=frac{1}{ln 2}$

$limlimits_{x to 0}frac{x^2 + o(x^3)}{x^2ln2}=frac{1}{ln 2}+frac{o(x^3)x}{x^3ln 2}=frac{1}{ln 2}+0·0=frac{1}{ln 2}$

$limlimits_{x to 0}frac{x^2 + o(x^2)}{x^3ln2}=0+0·infty$
此时出现了 $0 \cdot \infty$ ，表明选择 $o(x^2)$ 不合适，计算无法继续进行。

$limlimits_{x to 0}frac{x^2 + o(x^3)}{x^3ln2}=0+0=0$ 选择 $o(x^3)$ 后，问题随之解决。

常用的含有佩亚诺余项的麦克劳林公式可以汇总为：

$e^x=sum_{i=0}^nfrac{1}{i!}x^i+o(x^n)=1 + x + frac{1}{2!}x^2 + frac{1}{3!}x^3 + ... + frac{1}{n!}x^n +o(x^n)$

$-frac{1}{3!}x^3 +frac{1}{5!}x^5 -frac{1}{7}x^7 + frac{1}{9!}x^9 - ... +frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}+o(x^{2n+2})$
(佩亚诺余项也可以根据需求，写成 $o(x^{2n+1})$ ）

$-frac{1}{2!}x^2 +frac{1}{4!}x^4 -frac{1}{6}x^6 + frac{1}{8!}x^8 - ... +frac{(-1)^{n-1}}{(2n)!}x^{2n}+o(x^{2n+1})$
（同理，佩亚诺余项也可以根据需求，写成 $o(x^{2n})$ ）

$frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3}-...+(-1)^{n-1}frac{x^n}{n}+o(x^n)$

$(1+x)^m=1+mx + frac{m(m-1)}{2!}x^2+...+frac{m(m-1)...(m-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

$frac{1}{(1-x)}=1+x+x^2+x^3+...+x^n+o(x^n)$

本次分享就到这里，小啾感谢您的关注与支持！
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1. 泰勒公式原理

2. 具有 拉格朗日余项 的 泰勒公式。

3. 具有 佩亚诺余项 的 泰勒公式

4. 麦克劳林公式

2. 具有拉格朗日余项的泰勒公式。

3. 具有佩亚诺余项的泰勒公式