机器人导论（第四版）学习笔记——第四章

4.1 引言

本章研究已知工具坐标系相对于固定坐标系的期望位置和姿态，如何计算一系列满足期望要求的关节角？即操作臂你运动学问题。

4.2 解的存在性

求解操作臂运动学方程是一个非线性问题，即已知 N 0 T ^0_NT N0​T，求 θ 1 , θ 2 . . . θ n theta_1, theta_2...theta_n θ1​,θ2​...θn​。
例：对于PUMA 560机器人而言，就是已知 N 0 T ^0_NT N0​T，求 θ 1 , θ 2 , . . . θ 6 theta_1, theta_2, ...theta_6 θ1​,θ2​,...θ6​
对于有6个自由度的操作臂，有12个方程（变换矩阵的前3行，前4列组成的行列式每个单元的数值计算即为一个方程），其中6个是未知的。
6 0 T ^0_6T 60​T的旋转矩阵分量生成9个方程，但只有3个独立；
6 0 T ^0_6T 60​T的位置分量生成3个方程。
上述共合计6个方程，但此6个非线性超越方程，很难求解，必须考虑解的存在性、多解问题以及求解方法。
解的存在性
工作空间：操作臂末端执行器所能达到的范围
灵巧工作空间：操作臂的末端执行器能够从各个方向达到的空间区域
可达工作空间：操作臂至少从一个方向可以到达的空间
灵巧工作空间是可达工作空间的子集。
工作空间计算时要注意腕部坐标系{W}与工具坐标系{T}的区别，一般用户关心的是工具坐标系{T}，而我们研究的是与工具无关的腕部坐标系{W}。
多解问题
解的选择标准是变化的，比较合理的选择是取最近解，即每个关节的运动量最小。当然，有时每个关节的权重需要有所不同，即加权。
PUMA560到达一个确定目标有8个不同解。
解法
非线性方程组没有通用解法
如果关节变量能够通过一种算法确定，这种算法可以求出与已知位置和姿态相对应全部关节变量，那么操作臂就是可解的。
多解时，我们要求能够求出所有解。因此不考虑数值迭代的程序（只能求出部分解）。
求解方法分为两大类：封闭解和数值解。求解速度而言，封闭解快于数值解。
数值解法本身是一门学科，本书不做讨论。
封闭解又可分为两大类：代数法和几何法。
所有包含转动关节和移动关节的串联型6自由度机构均可解。但这种解一般是数值解，对6自由度操作臂而言，只有特殊情况下才有解析解。
存在解析解的特性：存在n个正交关节轴或者有多个 α i alpha_i αi​为0或者 ± 9 0 ∘ pm90^circ ±90∘
有6个旋转关节的操作臂存在封闭解的充分条件是相邻的三个关节轴相交于同一点。如PUMA 560机器人4、5、6轴交于同一点。

4.3 当n<6时操作臂子空间的描述

n自由度操作臂的可达工作空间可以看作n自由度子空间的子集。
确定n自由度操作臂子空间的方法是给出腕部坐标系或工具坐标系的表达式，它是含n个变量的函数。如果将这n个变量看作自由变量，那所有可能取值就构成了这个子空间。
有n自由度的目标点进行定义，通常采取n个参数来确定这个目标点。如果给定6个自由度的目标点，n<6的操作臂是无法到达这个目标点的。这种情况下，可寻找一个操作臂子空间内的可达目标点来代替原目标点，并和原目标点尽可能接近。
对少于6自由度的操作臂来说，确定一般目标点时，求解方法：

1. 已知一般目标坐标系 G S T ^S_GT GS​T，计算一个修正坐标系 G ′ S T ^S_{G'}T G′S​T，使 G ′ S T ^S_{G'}T G′S​T在操作臂子空间内，并和 G S T ^S_GT GS​T尽可能靠近（预先确定靠近标准）。
2. 将 G ′ S T ^S_{G'}T G′S​T作为期望目标，计算逆运动学来求关节角。

4.4 代数解法和几何解法

**代数解法：**利用数学性质
**几何解法：**利用几何关系

4.5 简化成多项式的代数解法

令 u = tan ⁡ θ 2 u=tanfractheta 2 u=tan2θ​，则 cos ⁡ θ = 1 − u 2 1 + u 2 costheta=frac{1-u^2}{1+u^2} cosθ=1+u21−u2​， sin ⁡ θ = 2 u 1 + u 2 sintheta=frac{2u}{1+u^2} sinθ=1+u22u​，如此则把超越方程转化成了关于u的多项式。

4.6 三轴相交的Pieper解法

略

4.7 操作臂逆运动学实例

PUMA 560机器人，Motoman L-3机器人

4.8 标准坐标系

与前文的定义完全相同。操作臂运动的目标是从起始位置以光滑的方式运动，直到{T}={G}。

4.9 操作臂求解

SOLVE函数可进行笛卡尔变换，也称为逆运动学函数。
已知 S T T ^T_ST ST​T，先计算 W S T = S B T T S T T W T − 1 ^S_WT=^B_ST^S_TT^W_TT^{-1} WS​T=SB​TTS​TTW​T−1，然后将 S S T ^S_ST SS​T作为输入，求出 θ 1 , θ 2 . . . θ n theta_1, theta_2...theta_n θ1​,θ2​...θn​。

4.10 重复精度和精度

示教点：操作臂运动实际要到达的点
重复精度：操作臂返回示教点的精度
计算点：目标位置和姿态是笛卡尔坐标来确定的，必须计算逆运动学问题来求关节角
精度：操作臂到达计算点的精度
精度小于等于重复精度
对操作臂运动学参数作辨识，标定技术可以提高精度。

4.11 计算问题