【考研数学】概率论与数理统计 —— 第三章 | 二维随机变量及其分布（3，二维随机变量函数的分布）

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七、二维随机变量函数的分布

7.1 二维随机变量函数分布的基本情形

设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，以 $X,Y$ 为变量所构成的二元函数 $Z=\phi (X,Y)$ ，称为随机变量 $(X,Y)$ 的函数，其分布一般有如下几种情形：

$(X,Y)$ 为二维离散型随机变量

设 $(X,Y)$ 联合分布律为 P { X = x i , Y = y j ) = p i j P{X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} P{X=xi​,Y=yj​)=pij​ ，则 $Z=\phi (X,Y)$ 的分布律如下： Z ∼ ( φ ( x 1 , y 1 ) φ ( x 1 , y 2 ) ⋯ φ ( x m , y 1 ) ⋯ p 11 p 12 ⋯ p m 1 ⋯ ) , Zsim begin{pmatrix} varphi(x_1,y_1) & varphi(x_1,y_2) & cdots & varphi(x_m,y_1) & cdots\ p_{11} & p_{12} & cdots & p_{m1} & cdots end{pmatrix}, Z∼(φ(x1​,y1​)p11​​φ(x1​,y2​)p12​​⋯⋯​φ(xm​,y1​)pm1​​⋯⋯​), 相同的取值需要合并。

$(X,Y)$ 为二维连续型随机变量

设 $(X,Y)$ 联合密度函数为 $f(x,y)$ 。

（1）当 $Z=\phi (X,Y)$ 为离散型时

求出 $Z$ 的所有可能取值，再求出其对应的概率。

（2）当 $Z=\phi (X,Y)$ 为连续型时

首先计算 $Z$ 的分布函数 F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = ∬ φ ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P{Zleq z}=iint_{varphi(x,y)leq z}f(x,y)dxdy FZ​(z)=P{Z≤z}=∬φ(x,y)≤z​f(x,y)dxdy ，那么 $Z$ 的密度函数为： f Z ( z ) = { F Z ′ ( z ) , z 为可导点 0 , z 为不可导点 f_Z(z)=begin{cases} F'_Z(z),&z为可导点 \ 0,&z为不可导点 end{cases} fZ​(z)={FZ′​(z),0,​z为可导点z为不可导点​

$X$ 为离散型变量，$Y$ 为连续型变量

给出 $X$ 的分布律，$Y$ 的概率密度，求 $Z=\phi (X,Y)$ 的分布时，一般用全概率公式。

若 X ∼ ( x 1 x 2 ⋯ x n p 1 p 2 ⋯ p n ) , Xsim begin{pmatrix} x_1 & x_2 & cdots & x_n \ p_{1} & p_2 & cdots & p_{n} end{pmatrix}, X∼(x1​p1​​x2​p2​​⋯⋯​xn​pn​​), $Y$ 的边缘密度为 f Y ( y ) f_Y(y) fY​(y) ，则有 F Z ( z ) = P { φ ( X , Y ) ≤ z } = P { X = x 1 , φ ( x 1 , Y ) ≤ z } + P { X = x 2 , φ ( x 2 , Y ) ≤ z } F_Z(z)=P{varphi(X,Y)leq z}=P{X=x_1,varphi(x_1,Y)leq z}+P{X=x_2,varphi(x_2,Y)leq z} FZ​(z)=P{φ(X,Y)≤z}=P{X=x1​,φ(x1​,Y)≤z}+P{X=x2​,φ(x2​,Y)≤z} + ⋯ + P { X = x n , φ ( x n , Y ) ≤ z } . +cdots+P{X=x_n,varphi(x_n,Y)leq z}. +⋯+P{X=xn​,φ(xn​,Y)≤z}.

7.2 常见二维随机变量的函数及其分布

Z = min ⁡ { X , Y } Z=min{X,Y} Z=min{X,Y} 的分布

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = 1 − P { Z > z } = P { X > z , Y > z } = 1 − ∬ x > z , y > z f ( u , v ) d u d v F_Z(z)=P{Zleq z}=1-P{Z>z}=P{X>z,Y>z}=1-iint_{x>z,y>z}f(u,v)dudv FZ​(z)=P{Z≤z}=1−P{Z>z}=P{X>z,Y>z}=1−∬x>z,y>z​f(u,v)dudv ，特别地，当 $X,Y$ 相互独立时，有 F Z ( z ) = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] [ 1 − F Y ( z ) ] F_Z(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)] FZ​(z)=1−[1−FX​(z)][1−FY​(z)] 。

这个变换还是比较巧妙的，同样这也提示我们，对于这类求最大最小的分布，可以去做类似处理。

Z = max ⁡ { X , Y } Z=max{X,Y} Z=max{X,Y} 的分布

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X ≤ z , Y ≤ z } = ∫ − ∞ z d x ∫ − ∞ z f ( x , y ) d y F_Z(z)=P{Zleq z}=P{Xleq z,Yleq z}=int_{-infty}^zdxint_{-infty}^zf(x,y)dy FZ​(z)=P{Z≤z}=P{X≤z,Y≤z}=∫−∞z​dx∫−∞z​f(x,y)dy ，特别地，当 $X,Y$ 独立时，有 F Z ( z ) = F X ( z ) F Y ( z ) . F_Z(z)=F_X(z)F_Y(z). FZ​(z)=FX​(z)FY​(z).

$Z=X+Y$ 的分布

F Z ( z ) = P { X + Y ≤ z } = ∬ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y . F_Z(z)=P{X+Yleq z}=iint_{x+yleq z}f(x,y)dxdy. FZ​(z)=P{X+Y≤z}=∬x+y≤z​f(x,y)dxdy.

$Z=XY$ 的分布

Z = Y X Z=frac{Y}{X} Z=XY​ 的分布

下面给出一些常见的二维随机变量的函数分布：

设 $X,Y$ 独立，则：

（1）若 $X\sim B(m,p),Y\sim B(n,p)$ ，则 $X+Y\sim B(m+n,p).$

（2）若 X ∼ P ( λ 1 ) , Y ∼ P ( λ 2 ) Xsim P(lambda_1),Ysim P(lambda_2) X∼P(λ1​),Y∼P(λ2​) ，则 X + Y ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) . X+Y sim P(lambda_1+lambda_2). X+Y∼P(λ1​+λ2​).

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写在最后

那到此，二维随机变量的理论内容就结束啦，掌握一维随机变量，再加上高数的二重积分的基础，这一章应该就问题不大。