【考研数学】概率论与数理统计 —— 第三章 | 二维随机变量及其分布(3,二维随机变量函数的分布)


七、二维随机变量函数的分布

7.1 二维随机变量函数分布的基本情形

( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量,以 X , Y X,Y X,Y 为变量所构成的二元函数 Z = φ ( X , Y ) Z=varphi(X,Y) Z=φ(X,Y) ,称为随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的函数,其分布一般有如下几种情形:

( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维离散型随机变量

( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 联合分布律为 P { X = x i , Y = y j ) = p i j P{X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} P{X=xi,Y=yj)=pij ,则 Z = φ ( X , Y ) Z=varphi(X,Y) Z=φ(X,Y) 的分布律如下: Z ∼ ( φ ( x 1 , y 1 ) φ ( x 1 , y 2 ) ⋯ φ ( x m , y 1 ) ⋯ p 11 p 12 ⋯ p m 1 ⋯ ) , Zsim begin{pmatrix} varphi(x_1,y_1) & varphi(x_1,y_2) & cdots & varphi(x_m,y_1) & cdots\ p_{11} & p_{12} & cdots & p_{m1} & cdots end{pmatrix}, Z(φ(x1,y1)p11φ(x1,y2)p12φ(xm,y1)pm1), 相同的取值需要合并。

( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维连续型随机变量

( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 联合密度函数为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)

(1)当 Z = φ ( X , Y ) Z=varphi(X,Y) Z=φ(X,Y) 为离散型时

求出 Z Z Z 的所有可能取值,再求出其对应的概率。

(2)当 Z = φ ( X , Y ) Z=varphi(X,Y) Z=φ(X,Y) 为连续型时

首先计算 Z Z Z 的分布函数 F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = ∬ φ ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P{Zleq z}=iint_{varphi(x,y)leq z}f(x,y)dxdy FZ(z)=P{Zz}=φ(x,y)zf(x,y)dxdy ,那么 Z Z Z 的密度函数为: f Z ( z ) = { F Z ′ ( z ) , z 为可导点 0 , z 为不可导点 f_Z(z)=begin{cases} F'_Z(z),&z为可导点 \ 0,&z为不可导点 end{cases} fZ(z)={FZ(z),0,z为可导点z为不可导点

X X X 为离散型变量, Y Y Y 为连续型变量

给出 X X X 的分布律, Y Y Y 的概率密度,求 Z = φ ( X , Y ) Z=varphi(X,Y) Z=φ(X,Y) 的分布时,一般用全概率公式。

X ∼ ( x 1 x 2 ⋯ x n p 1 p 2 ⋯ p n ) , Xsim begin{pmatrix} x_1 & x_2 & cdots & x_n \ p_{1} & p_2 & cdots & p_{n} end{pmatrix}, X(x1p1x2p2xnpn), Y Y Y 的边缘密度为 f Y ( y ) f_Y(y) fY(y) ,则有 F Z ( z ) = P { φ ( X , Y ) ≤ z } = P { X = x 1 , φ ( x 1 , Y ) ≤ z } + P { X = x 2 , φ ( x 2 , Y ) ≤ z } F_Z(z)=P{varphi(X,Y)leq z}=P{X=x_1,varphi(x_1,Y)leq z}+P{X=x_2,varphi(x_2,Y)leq z} FZ(z)=P{φ(X,Y)z}=P{X=x1,φ(x1,Y)z}+P{X=x2,φ(x2,Y)z} + ⋯ + P { X = x n , φ ( x n , Y ) ≤ z } . +cdots+P{X=x_n,varphi(x_n,Y)leq z}. ++P{X=xn,φ(xn,Y)z}.

7.2 常见二维随机变量的函数及其分布

Z = min ⁡ { X , Y } Z=min{X,Y} Z=min{X,Y} 的分布

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = 1 − P { Z > z } = P { X > z , Y > z } = 1 − ∬ x > z , y > z f ( u , v ) d u d v F_Z(z)=P{Zleq z}=1-P{Z>z}=P{X>z,Y>z}=1-iint_{x>z,y>z}f(u,v)dudv FZ(z)=P{Zz}=1P{Z>z}=P{X>z,Y>z}=1x>z,y>zf(u,v)dudv ,特别地,当 X , Y X,Y X,Y 相互独立时,有 F Z ( z ) = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] [ 1 − F Y ( z ) ] F_Z(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)] FZ(z)=1[1FX(z)][1FY(z)]

这个变换还是比较巧妙的,同样这也提示我们,对于这类求最大最小的分布,可以去做类似处理。

Z = max ⁡ { X , Y } Z=max{X,Y} Z=max{X,Y} 的分布

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X ≤ z , Y ≤ z } = ∫ − ∞ z d x ∫ − ∞ z f ( x , y ) d y F_Z(z)=P{Zleq z}=P{Xleq z,Yleq z}=int_{-infty}^zdxint_{-infty}^zf(x,y)dy FZ(z)=P{Zz}=P{Xz,Yz}=zdxzf(x,y)dy ,特别地,当 X , Y X,Y X,Y 独立时,有 F Z ( z ) = F X ( z ) F Y ( z ) . F_Z(z)=F_X(z)F_Y(z). FZ(z)=FX(z)FY(z).

Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y 的分布

F Z ( z ) = P { X + Y ≤ z } = ∬ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y . F_Z(z)=P{X+Yleq z}=iint_{x+yleq z}f(x,y)dxdy. FZ(z)=P{X+Yz}=x+yzf(x,y)dxdy.

Z = X Y Z=XY Z=XY 的分布

在这里插入图片描述

Z = Y X Z=frac{Y}{X} Z=XY 的分布

在这里插入图片描述

下面给出一些常见的二维随机变量的函数分布:

X , Y X,Y X,Y 独立,则:

(1)若 X ∼ B ( m , p ) , Y ∼ B ( n , p ) Xsim B(m,p),Ysim B(n,p) XB(m,p),YB(n,p) ,则 X + Y ∼ B ( m + n , p ) . X+Y sim B(m+n,p). X+YB(m+n,p).

(2)若 X ∼ P ( λ 1 ) , Y ∼ P ( λ 2 ) Xsim P(lambda_1),Ysim P(lambda_2) XP(λ1),YP(λ2) ,则 X + Y ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) . X+Y sim P(lambda_1+lambda_2). X+YP(λ1+λ2).


写在最后

那到此,二维随机变量的理论内容就结束啦,掌握一维随机变量,再加上高数的二重积分的基础,这一章应该就问题不大。