需要记忆的一些公式

∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x = ∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x int_{0}^{frac{pi}{2}} cos^{n}xmathrm{d}x=int_{0}^{frac{pi}{2}} sin^{n}xmathrm{d}x ∫02π​​cosnxdx=∫02π​​sinnxdx
x 为偶数： π ( n − 1 ) ! ! 2 n ! ! x为偶数：frac{pi(n-1)!!}{2n!!} x为偶数：2n!!π(n−1)!!​
x 为奇数： ( n − 1 ) ! ! n ! ! x为奇数：frac{(n-1)!!}{n!!} x为奇数：n!!(n−1)!!​
∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = π 2 int_{0}^{+infty} e^{-x^2}mathrm{d}x=frac{sqrtpi}{2} ∫0+∞​e−x2dx=2π ​​

积分

重积分

基本的不讲了，讲讲换元

二重积分

先是二重积分的
∫ ∫ D f ( x , y ) d x d y = ∫ ∫ D ′ f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ∣ J ∣ d u d v {intint}_{D} f(x,y)mathrm{d}xmathrm{d}y={intint}_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J|mathrm{d}umathrm{d}v ∫∫D​f(x,y)dxdy=∫∫D′​f(x(u,v),y(u,v))∣J∣dudv
其中
J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∣ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∣ J=frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} =begin{vmatrix} frac{partial x}{partial u}&frac{partial x}{partial v}\frac{partial y}{partial u}&frac{partial y}{partial v} end{vmatrix} J=∂(u,v)∂(x,y)​= ​∂u∂x​∂u∂y​​∂v∂x​∂v∂y​​ ​
特别地，做代换 { x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ left{begin{array}{cc} x=rcostheta\y=rsintheta end{array}right. {x=rcosθy=rsinθ​得到
∫ ∫ D f ( x , y ) d σ = ∫ ∫ D ′ f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d r d θ {intint}_{D} f(x,y)mathrm{d}sigma={intint}_{D'}f(rcostheta,rsintheta)rmathrm{d}rmathrm{d}theta ∫∫D​f(x,y)dσ=∫∫D′​f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ

三重积分

先是二重积分的
∫ ∫ ∫ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∫ ∫ ∫ Ω ′ f ( x ( u , v , w ) , y ( u , v , w ) , z ( u , v , w ) ) ∣ J ∣ d u d v d w {intintint}_{Omega} f(x,y,z)mathrm{d}xmathrm{d}ymathrm{d}z={intintint}_{Omega'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|mathrm{d}umathrm{d}vmathrm{d}w ∫∫∫Ω​f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫Ω′​f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))∣J∣dudvdw
其中
J = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u , v , w ) = ∣ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w ∣ J=frac{partial(x,y,z)}{partial(u,v,w)} =begin{vmatrix} frac{partial x}{partial u}&frac{partial x}{partial v}&frac{partial x}{partial w}\frac{partial y}{partial u}&frac{partial y}{partial v}&frac{partial y}{partial w}\frac{partial z}{partial u}&frac{partial z}{partial v}&frac{partial z}{partial w} end{vmatrix} J=∂(u,v,w)∂(x,y,z)​= ​∂u∂x​∂u∂y​∂u∂z​​∂v∂x​∂v∂y​∂v∂z​​∂w∂x​∂w∂y​∂w∂z​​ ​

柱坐标

特别地，做代换 { x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z left{begin{array}{cc} x=rcostheta\y=rsintheta\z=z end{array}right. ⎩ ⎨ ⎧​x=rcosθy=rsinθz=z​得到
∫ ∫ ∫ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∫ ∫ ∫ Ω ′ f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , z ) r d r d θ d z {intintint}_{Omega} f(x,y,z)mathrm{d}xmathrm{d}ymathrm{d}z={intintint}_{Omega'}f(rcostheta,rsintheta,z)rmathrm{d}rmathrm{d}thetamathrm{d}z ∫∫∫Ω​f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫Ω′​f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz

球坐标

又或者做代换 { x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 0 ≤ ρ < + ∞ y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 0 ≤ ϕ ≤ π z = z cos ⁡ ϕ , 0 ≤ θ < 2 π left{begin{array}{cc} x=rhosinphicostheta,&0lerho<+infty\ y=rhosinphisintheta,&0lephilepi\ z=zcosphi,&0letheta<2pi end{array}right. ⎩ ⎨ ⎧​x=ρsinϕcosθ,y=ρsinϕsinθ,z=zcosϕ,​0≤ρ<+∞0≤ϕ≤π0≤θ<2π​
值得注意的是$\theta$是$x$和$y$轴的夹角，$\varphi$是$z$和$Oxy$平面的夹角
得到
∫ ∫ ∫ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∫ ∫ ∫ Ω ′ f ( ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , z cos ⁡ ϕ ) ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ {intintint}_{Omega} f(x,y,z)mathrm{d}xmathrm{d}ymathrm{d}z={intintint}_{Omega'}f(rhosinphicostheta,rhosinphisintheta,zcosphi)rho^2sinphimathrm{d}rhomathrm{d}thetamathrm{d}phi ∫∫∫Ω​f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫Ω′​f(ρsinϕcosθ,ρsinϕsinθ,zcosϕ)ρ2sinϕdρdθdϕ

另外，要注意利用奇函数和偶函数的性质，可以极大的简化计算

重积分的应用

曲面面积

例如对于$z=f(x,y)$
S = ∫ ∫ D 1 + f x 2 ( x , y ) + f y 2 ( x , y ) d x d y S={intint}_Dsqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}mathrm{d}xmathrm{d}y S=∫∫D​1+fx2​(x,y)+fy2​(x,y) ​dxdy
再如对于参数方程 { x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) , ( u , v ) ∈ D ′ z = z ( u , v ) left{begin{array}{cc} x=x(u,v)\ y=y(u,v),&(u,v)in D'\ z=z(u,v) end{array}right. ⎩ ⎨ ⎧​x=x(u,v)y=y(u,v),z=z(u,v)​(u,v)∈D′​
则设 { E = x u 2 + y u 2 + z u 2 F = x u x v + y u y v + z u z v G = x v 2 + y v 2 + z v 2 left{begin{array}{cc} E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\ F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\ G=x_v^2+y_v^2+z_v^2 end{array}right. ⎩ ⎨ ⎧​E=xu2​+yu2​+zu2​F=xu​xv​+yu​yv​+zu​zv​G=xv2​+yv2​+zv2​​
那么
S = ∫ ∫ D ′ E G − F 2 d u d v S={intint}_{D'}sqrt{EG-F^2}mathrm{d}umathrm{d}v S=∫∫D′​EG−F2 ​dudv

求转动惯量

设质量密度是$\rho (x,y,z)$
则
J z = ∫ ∫ ∫ Ω ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y , z ) d V J x = ∫ ∫ ∫ Ω ( z 2 + y 2 ) ρ ( x , y , z ) d V J y = ∫ ∫ ∫ Ω ( x 2 + z 2 ) ρ ( x , y , z ) d V J x y = ∫ ∫ ∫ Ω z 2 ρ ( x , y , z ) d V J y z = ∫ ∫ ∫ Ω x 2 ρ ( x , y , z ) d V J z x = ∫ ∫ ∫ Ω y 2 ρ ( x , y , z ) d V J_z={intintint}_Omega(x^2+y^2)rho(x,y,z)mathrm{d}V\ J_x={intintint}_Omega(z^2+y^2)rho(x,y,z)mathrm{d}V\ J_y={intintint}_Omega(x^2+z^2)rho(x,y,z)mathrm{d}V\ J_{xy}={intintint}_Omega z^2rho(x,y,z)mathrm{d}V\ J_{yz}={intintint}_Omega x^2rho(x,y,z)mathrm{d}V\ J_{zx}={intintint}_Omega y^2rho(x,y,z)mathrm{d}V Jz​=∫∫∫Ω​(x2+y2)ρ(x,y,z)dVJx​=∫∫∫Ω​(z2+y2)ρ(x,y,z)dVJy​=∫∫∫Ω​(x2+z2)ρ(x,y,z)dVJxy​=∫∫∫Ω​z2ρ(x,y,z)dVJyz​=∫∫∫Ω​x2ρ(x,y,z)dVJzx​=∫∫∫Ω​y2ρ(x,y,z)dV

曲线积分

第一型曲线积分

假设曲线是$y=y(x)$在$[a,b]$上积分
∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x , y ( x ) ) 1 + [ y ′ ( x ) ] 2 d x int_Lf(x,y)mathrm{d}s=int_a^bf(x,y(x))sqrt{1+[y'(x)]^2}mathrm{d}x ∫L​f(x,y)ds=∫ab​f(x,y(x))1+[y′(x)]2 ​dx
若是参数方程形式 L : { x = ϕ ( t ) y = ψ ( t ) L:left{begin{array}{cc} x=phi(t)\ y=psi(t) end{array}right. L:{x=ϕ(t)y=ψ(t)​
其中$t\in [\alpha ,\beta ]$
则
∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) [ ϕ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 d t int_Lf(x,y)mathrm{d}s=int_alpha^beta f(phi(t),psi(t))sqrt{[phi'(t)]^2+[psi'(t)]^2}mathrm{d}t ∫L​f(x,y)ds=∫αβ​f(ϕ(t),ψ(t))[ϕ′(t)]2+[ψ′(t)]2 ​dt
三维的曲线积分同理，类比可得

第二型曲线积分

也叫路径积分
对于 L : { x = ϕ ( t ) y = ψ ( t ) L:left{begin{array}{cc} x=phi(t)\ y=psi(t) end{array}right. L:{x=ϕ(t)y=ψ(t)​
其中$t\in [\alpha ,\beta ]$，表示曲线$AB$
则 ∫ A B P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ α β [ P ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) + Q ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) ] d t int_{AB}P(x,y)mathrm{d}x+Q(x,y)mathrm{d}y=int_alpha^beta [P(phi(t),psi(t))phi'(t)+Q(phi(t),psi(t))psi'(t)]mathrm{d}t ∫AB​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ​[P(ϕ(t),ψ(t))ϕ′(t)+Q(ϕ(t),ψ(t))ψ′(t)]dt

而第二型曲线积分与路径无关的条件是当
∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x frac{partial P}{partial y}=frac{partial Q}{partial x} ∂y∂P​=∂x∂Q​

另外，若存在$\mathrm{d}u(x,y)=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$，则可以直接将曲线头尾带入$u(x,y)$中得到答案

格林公式

设$L$是封闭曲线且为正向曲线（逆时针）
∫ L P d x + Q d y = ∫ ∫ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y int_L Pmathrm{d}x+Qmathrm{d}y={intint}_D(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y})mathrm{d}xmathrm{d}y ∫L​Pdx+Qdy=∫∫D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy

第一型曲线积分和第二型曲线积分的相互转化

∫ A B P d x + Q d y = ∫ A B ( P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β ) d s int_{AB}Pmathrm{d}x+Qmathrm{d}y= int_{AB}(Pcosalpha+Qcosbeta)mathrm{d}s ∫AB​Pdx+Qdy=∫AB​(Pcosα+Qcosβ)ds
其中$(\cos \alpha ,\cos \beta )$是曲线$AB$的方向向量

值得注意的是，第一型曲线积分的上下界对调，得到的值是原来的相反数，而第二型曲线积分的值不受上下界对调的影响

曲面积分

第一型曲面积分

假设曲线是$z=g(x,y)$在$D$（投影）上积分
∫ ∫ S f ( x , y , z ) d S = ∫ ∫ S f ( x , y , g ( x , y ) ) 1 + g x 2 + g y 2 d σ {intint}_Sf(x,y,z)mathrm{d}S={intint}_Sf(x,y,g(x,y))sqrt{1+g_x^2+g_y^2}mathrm{d}sigma ∫∫S​f(x,y,z)dS=∫∫S​f(x,y,g(x,y))1+gx2​+gy2​ ​dσ
若是参数方程形式 { x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) , ( u , v ) ∈ D z = z ( u , v ) left{begin{array}{cc} x=x(u,v)\ y=y(u,v),&(u,v)in D\ z=z(u,v) end{array}right. ⎩ ⎨ ⎧​x=x(u,v)y=y(u,v),z=z(u,v)​(u,v)∈D​
则设 { E = x u 2 + y u 2 + z u 2 F = x u x v + y u y v + z u z v G = x v 2 + y v 2 + z v 2 left{begin{array}{cc} E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\ F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\ G=x_v^2+y_v^2+z_v^2 end{array}right. ⎩ ⎨ ⎧​E=xu2​+yu2​+zu2​F=xu​xv​+yu​yv​+zu​zv​G=xv2​+yv2​+zv2​​
那么和上面提到的面积分一样（或者说上面的曲面积分是$f(x,y,z)=1$的特殊形式）
∫ ∫ S f ( x , y , z ) d S = ∫ ∫ D f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) E G − F 2 d u d v {intint}_Sf(x,y,z)mathrm{d}S={intint}_{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))sqrt{EG-F^2}mathrm{d}umathrm{d}v ∫∫S​f(x,y,z)dS=∫∫D​f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EG−F2 ​dudv

第二型曲面积分

面对形如：
∫ ∫ S P d y d z + Q d z d x + R d x d y S 为 z = f ( x , y ) {intint}_{S}Pmathrm{d}ymathrm{d}z+Qmathrm{d}zmathrm{d}x+Rmathrm{d}xmathrm{d}y\ S为z=f(x,y) ∫∫S​Pdydz+Qdzdx+RdxdyS为z=f(x,y)
可以转化成
± ∫ ∫ S ( P ( − f x ) + Q ( − f y ) + R ) d x d y   pm{intint}_{S}(P(-f_x)+Q(-f_y)+R)mathrm{d}xmathrm{d}y ±∫∫S​(P(−fx​)+Q(−fy​)+R)dxdy 
取正号时表示上侧曲面，反之表示下侧曲面

高斯公式

∫ ∫ S P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∫ ∫ ∫ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d V {intint}_{S}Pmathrm{d}ymathrm{d}z+Qmathrm{d}zmathrm{d}x+Rmathrm{d}xmathrm{d}y={intintint}_Omega(frac{partial P}{partial x}+frac{partial Q}{partial y}+frac{partial R}{partial z})mathrm{d}V ∫∫S​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫Ω​(∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​)dV
$S$是闭合曲面

斯托克斯公式

∫ A B P d x + Q d y + R d z = ∫ ∫ S ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z d x + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y int_{AB}Pmathrm{d}x+Qmathrm{d}y+Rmathrm{d}z={intint}_{S}(frac{partial R}{partial y}-frac{partial Q}{partial z})mathrm{d}ymathrm{d}z+(frac{partial P}{partial z}-frac{partial R}{partial x})mathrm{d}zmathrm{d}x+(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y})mathrm{d}xmathrm{d}y ∫AB​Pdx+Qdy+Rdz=∫∫S​(∂y∂R​−∂z∂Q​)dydz+(∂z∂P​−∂x∂R​)dzdx+(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy
$AB$是闭合曲线
右边可以记作
∣ d y d z d z d x d x d y ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ begin{vmatrix} mathrm{d}ymathrm{d}z&mathrm{d}zmathrm{d}x&mathrm{d}xmathrm{d}y\ frac{partial}{partial x}&frac{partial}{partial y}&frac{partial}{partial z}\ P&Q&R end{vmatrix} ​dydz∂x∂​P​dzdx∂y∂​Q​dxdy∂z∂​R​ ​

微分方程

首先，明白一个基本解微分方程的原理：
全解=特解+通解
一个$n$阶微分方程，其通解应该包含$n$个可变的常数

验证这$n$个常数是否独立，应该验证其行列式是否等于$0$（$n$条方程是否线性无关）

接下来讨论几类特殊的微分方程的解法

y ′ = f ( x ) g ( y ) y'=f(x)g(y) y′=f(x)g(y)

采用分离变量的方法，得到
d y g ( y ) = f ( x ) d x frac{mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)mathrm{d}x g(y)dy​=f(x)dx
对两边积分即可

y ′ = f ( a x + b y + c ) y'=f(ax+by+c) y′=f(ax+by+c)

做变量替换，令$z=ax+by+c$，则 d z d x = a + b f ( z ) frac{mathrm{d}z}{mathrm{d}x}=a+bf(z) dxdz​=a+bf(z)
再按上述做即可

y ′ = f ( x , y ) y'=f(x,y) y′=f(x,y)（其中$f(x,y)$是齐次函数）

同样做换元 z = y x z=frac{y}{x} z=xy​，推导即可

y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y'+P(x)y=Q(x) y′+P(x)y=Q(x)

先解 y ′ + P ( x ) y = 0 y'+P(x)y=0 y′+P(x)y=0，再将解出来的解可变常数$C$中替换为$u(x)$，代入原方程解出即可